Яка площа поверхні куба, якщо площа діагонального перерізу дорівнює 4√2 см2?

Для решения данной задачи нам потребуется использовать знания о связи диагонали куба с его площадью. Начнем с того, что в кубе все его грани равны между собой. Диагональ перерезает две грани, поэтому площадь диагонального перереза будет состоять из двух квадратных граней.

Давайте обозначим сторону куба через \(a\). Так как диагональ куба проходит через две грани, она будет состоять из двух сторон куба и будет равна \(\sqrt{2}a\).

Мы знаем, что площадь диагонального перереза равна \(4\sqrt{2} \, \text{см}^2\), поэтому можем записать уравнение:

\[2a^2 = 4\sqrt{2}\]

Для начала, поделим оба выражения на 2, чтобы избавиться от коэффициента 2:

\[a^2 = 2\sqrt{2}\]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих частей, чтобы найти значение стороны \(a\):

\[a = \sqrt{2\sqrt{2}}\]

Чтобы упростить это выражение, мы можем разложить \(\sqrt{2\sqrt{2}}\) на множество корней:

\[a = \sqrt{2 \cdot 2^{0.5}}\]

Перепишем это выражение в более простой форме:

\[a = \sqrt{2} \cdot \sqrt{2^{0.5}}\]

Так как \(\sqrt{2^{0.5}}\) равен \(2^{0.5/2}\), то можно записать:

\[a = \sqrt{2} \cdot 2^{0.25}\]

Возведем \(2\) в степень \(0.25\):

\[a = 2^{0.5} \cdot 2^{0.25}\]

Теперь возьмем произведение величин с одним и тем же основанием \(2\):

\[a = 2^{0.5+0.25}\]

Складываем показатели степеней:

\[a = 2^{0.75}\]

Таким образом, сторона куба равна \(2^{0.75}\).

Чтобы найти площадь поверхности куба, нужно сложить все его грани. Поскольку каждая грань куба имеет площадь \(a^2\), площадь поверхности составит:

\[S = 6a^2 = 6(2^{0.75})^2\]

Теперь мы можем подсчитать площадь поверхности куба, подставив значение \(a\):

\[S = 6 \cdot 2^{0.75 \cdot 2}\]

Упростим это выражение:

\[S = 6 \cdot 2^{1.5}\]

Наконец, вычислим значение \(S\):

\[S = 6 \cdot \sqrt{2^3} = 6 \cdot \sqrt{8} = 6 \cdot 2\sqrt{2} = 12\sqrt{2}\]

Таким образом, площадь поверхности куба равна \(12\sqrt{2} \, \text{см}^2\).