Можно найти одну из первообразных функции f(x)=sin(3x-2)-x^5. Хочу увидеть решение, если возможно

Конечно, давайте найдем первообразную для функции \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\).

Для того чтобы найти первообразную, мы будем использовать метод интегрирования по частям (подходит для функции, которая представлена в виде произведения двух функций).

Шаг 1: Разложим функцию \(f(x)\) на две составляющие: \(u\) и \(dv\).
Для функции \(\sin(3x-2)\) выберем \(u\), а для \(x^5\) выберем \(dv\).

\(u = \sin(3x-2)\) и \(dv = -x^5\)

Шаг 2: Теперь найдем производные этих функций \(du\) и \(v\).
Производная функции \(\sin(3x-2)\) равна \(\frac{d}{dx}(\sin(3x-2)) = 3\cos(3x-2)\)
Производная функции \(x^5\) равна \(\frac{d}{dx}(x^5) = 5x^4\)

\(du = 3\cos(3x-2)dx\) и \(v = -\frac{1}{6}x^6\)

Шаг 3: Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)

Применяем эту формулу к нашим \(u\), \(dv\), \(du\) и \(v\):

\(\int \sin(3x-2) \, (-x^5) \, dx = -\sin(3x-2) \, \frac{1}{6}x^6 - \int (-\frac{1}{6}x^6 \, 3\cos(3x-2) \, dx)\)

Упростим полученное выражение:

\(-\sin(3x-2) \, \frac{1}{6}x^6 + \frac{1}{2} \int x^6 \cos(3x-2) \, dx\)

Шаг 4: Наша задача теперь свелась к интегрированию функции \(\int x^6 \cos(3x-2) \, dx\).
Для интегрирования этой функции мы будем использовать метод интегрирования по частям еще раз.

Выберем для интегрирования функцию \(x^6\) как \(u\) и \(\cos(3x-2) \, dx\) как \(dv\).

\(u = x^6\) и \(dv = \cos(3x-2) \, dx\)

Вычислим производные: \(du = 6x^5 \, dx\) и \(v = \frac{1}{3}\sin(3x-2)\)

Применим формулу интегрирования по частям:

\(\int x^6 \cos(3x-2) \, dx = x^6 \, \frac{1}{3}\sin(3x-2) - \int \frac{1}{3}\sin(3x-2) \, 6x^5 \, dx\)

Упростим полученное выражение:

\(x^6 \, \frac{1}{3}\sin(3x-2) - 2x^5 \int \sin(3x-2) \, dx\)

Шаг 5: Мы недавно вычислили интеграл \(\int \sin(3x-2) \, dx\). Она является функцией \(-\frac{1}{3}\cos(3x-2)\), что мы можем подставить в предыдущее выражение:

\(x^6 \, \frac{1}{3}\sin(3x-2) - 2x^5 (-\frac{1}{3}\cos(3x-2)) + C\)

Где \(C\) - это постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\) будет:

\(-\frac{1}{3}\cos(3x-2)x^5 + \frac{1}{3}\sin(3x-2)x^6 + \frac{2}{3}x^5 + C\)

Где \(C\) - это произвольная постоянная.

Это ответ на задачу, найдена одна из первообразных функции для \(f(x) = \sin(3x-2) - x^5\)