Можно найти одну из первообразных функции f(x)=sin(3x-2)-x^5. Хочу увидеть решение, если возможно

Май 7, 2024

Можно найти одну из первообразных функции f(x)=sin(3x-2)-x^5. Хочу увидеть решение, если возможно.

Морозная_Роза_2161

Конечно, давайте найдем первообразную для функции

f (x) = \sin (3 x - 2) - x^{5}

.

Для того чтобы найти первообразную, мы будем использовать метод интегрирования по частям (подходит для функции, которая представлена в виде произведения двух функций).

Шаг 1: Разложим функцию

f (x)

на две составляющие:

u

d v

.
Для функции

\sin (3 x - 2)

выберем

u

, а для

x^{5}

выберем

d v

u = \sin (3 x - 2)

d v = - x^{5}

Шаг 2: Теперь найдем производные этих функций

d u

v

.
Производная функции

\sin (3 x - 2)

равна

\frac{d}{d x} (\sin (3 x - 2)) = 3 \cos (3 x - 2)

Производная функции

x^{5}

равна

\frac{d}{d x} (x^{5}) = 5 x^{4}

d u = 3 \cos (3 x - 2) d x

v = - \frac{1}{6} x^{6}

Шаг 3: Теперь применим формулу интегрирования по частям:

\int u d v = u v - \int v d u

Применяем эту формулу к нашим

u

d v

d u

v

\int \sin (3 x - 2) (- x^{5}) d x = - \sin (3 x - 2) \frac{1}{6} x^{6} - \int (- \frac{1}{6} x^{6} 3 \cos (3 x - 2) d x)

Упростим полученное выражение:

- \sin (3 x - 2) \frac{1}{6} x^{6} + \frac{1}{2} \int x^{6} \cos (3 x - 2) d x

Шаг 4: Наша задача теперь свелась к интегрированию функции

\int x^{6} \cos (3 x - 2) d x

.
Для интегрирования этой функции мы будем использовать метод интегрирования по частям еще раз.

Выберем для интегрирования функцию

x^{6}

как

u

\cos (3 x - 2) d x

как

d v

u = x^{6}

d v = \cos (3 x - 2) d x

Вычислим производные:

d u = 6 x^{5} d x

v = \frac{1}{3} \sin (3 x - 2)

Применим формулу интегрирования по частям:

\int x^{6} \cos (3 x - 2) d x = x^{6} \frac{1}{3} \sin (3 x - 2) - \int \frac{1}{3} \sin (3 x - 2) 6 x^{5} d x

Упростим полученное выражение:

x^{6} \frac{1}{3} \sin (3 x - 2) - 2 x^{5} \int \sin (3 x - 2) d x

Шаг 5: Мы недавно вычислили интеграл

\int \sin (3 x - 2) d x

. Она является функцией

- \frac{1}{3} \cos (3 x - 2)

, что мы можем подставить в предыдущее выражение:

x^{6} \frac{1}{3} \sin (3 x - 2) - 2 x^{5} (- \frac{1}{3} \cos (3 x - 2)) + C

Где

C

- это постоянная интегрирования.

Таким образом, первообразная функции

f (x) = \sin (3 x - 2) - x^{5}

будет:

- \frac{1}{3} \cos (3 x - 2) x^{5} + \frac{1}{3} \sin (3 x - 2) x^{6} + \frac{2}{3} x^{5} + C

Где

C

- это произвольная постоянная.

Это ответ на задачу, найдена одна из первообразных функции для

f (x) = \sin (3 x - 2) - x^{5}

Знаешь ответ?

Математика

Сколько килограммов конфет, добавленных в магазин, составили шоколадные?

Ноя 19, 2023

Математика

Какое количество фруктов и овощей использовал повар для приготовления сока, если он взял половину...

Ноя 19, 2023

Можно найти одну из первообразных функции f(x)=sin(3x-2)-x^5. Хочу увидеть решение, если возможно

Морозная_Роза_2161

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!