Яка площа поверхні конуса з висотою 20 см, а твірна нахилена до площини його основи під кутом 60 градусів?

Щоб знайти площу поверхні конуса, нам потрібно знати радіус основи і довжину його твірної. Почнемо з радіуса.

Ми знаємо, що градус нахилу твірної до основи конуса дорівнює 60 градусів. Запишемо відношення твірної до радіуса у формулі тригонометрії:

\[\sin 60^\circ = \frac{{\text{{довжина твірної}}}}{{\text{{радіус основи}}}}\]

Знаючи, що \(\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), ми можемо використати це відношення, щоб знайти довжину твірної. Давайте підставимо значення:

\[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{{\text{{довжина твірної}}}}{{\text{{радіус основи}}}}\]

Тепер нам потрібно знайти радіус основи. Зверніть увагу, що твірна є гіпотенузою прямокутного трикутника, або стороною, яка з"єднує вершину конуса з точкою на колі основи. Друга сторона прямокутного трикутника - це радіус основи, а третя сторона - висота конуса.

Нам відома висота конуса, яка дорівнює 20 см.

Використовуючи теорему Піфагора, отримаємо:

\[\text{{радіус основи}} = \sqrt{{\text{{довжина твірної}}^2 - \text{{висота конуса}}^2}}\]

Підставимо відомі значення:

\[\text{{радіус основи}} = \sqrt{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 20^2}}\]

За допомогою калькулятора зможемо обчислити значення радіуса основи. Після обчислення маємо значення радіуса основи.

Тепер, коли ми знайшли радіус основи, можемо обчислити площу поверхні конуса. Формула для площі поверхні конуса:

\[S = \pi \cdot r \cdot l\]

де \(S\) - площа поверхні конуса, \(r\) - радіус основи, \(l\) - довжина твірної.

Підставимо відомі значення:

\[S = \pi \cdot \text{{радіус основи}} \cdot \text{{довжина твірної}}\]

Після підстановки значень, які ми вже знайшли, та обчислень, ми отримаємо площу поверхні конуса.