Яка площа паралелограма, якщо його сторони мають довжини 14 см і 20 см, а кут між висотами з вершини тупого кута

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для вычисления площади параллелограмма и высоты, а также сведения о свойствах параллелограмма.

Площадь $S$ параллелограмма можно вычислить, умножив длину одной из сторон $a$ на длину высоты $h$, опущенной на эту сторону:
$$S=a\cdot h.$$

Высота $h$ параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на противоположную его сторону. Все высоты параллелограмма равны между собой.

Дано, что стороны параллелограмма имеют длины 14 см и 20 см. Нам нужно найти площадь параллелограмма.

Согласно свойствам параллелограмма, стороны, противостоящие вершинам с одинаковыми номерами, равны между собой. Если взять стороны, соединяющие вершину с номером 1 и вершину с номером 3, то они должны быть равны друг другу. Поэтому в нашем случае справедливо:
$$a=14\text{см},$$
$$b=14\text{см}.$$

Также из условия задачи известно, что косинус угла между высотами, опущенными из вершин с номерами 1 и 3, равен $0.707$ (округленно до трех знаков после запятой), поскольку катеты равны, а гипотенуза равна сумме катетов.

Теперь нам осталось найти высоту $h$ параллелограмма и подставить полученные значения в формулу для площади.

Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике со сторонами $a=14$ см, $b=14$ см и углом между ними ${45}^{\circ }$:
$$\cos {45}^{\circ }=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab},$$
где $c$ — диагональ параллелограмма.

Диагональ параллелограмма $c$ можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, одной из сторон параллелограмма и перпендикулярной этой стороне высотой:
$$c^2=a^2+h^2.$$
Так как в этом треугольнике угол между $a$ и $h$ равен ${90}^{\circ }$, то этот треугольник прямоугольный.

Подставим формулу для диагонали $c$ в формулу для косинуса угла между высотами:
$$\cos {45}^{\circ }=\frac{a^2+b^2-(a^2+h^2)}{2ab},$$
Приведем уравнение к виду:
$$\frac{h^2}{ab}+\frac{a^2+b^2}{2ab}=1.$$

Подставим значения из задачи:
$$\frac{h^2}{14\cdot 14}+\frac{{14}^2+{14}^2}{2\cdot 14\cdot 14}=1,$$
$$\frac{h^2}{196}+\frac{392}{392}=1,$$
$$\frac{h^2}{196}+1=1.$$

Выразим $h^2$ через общий знаменатель:
$$\frac{h^2+196}{196}=1.$$

Умножим обе части уравнения на 196:
$$h^2+196=196,$$

$$h^2=0.$$

Так как квадрат высоты $h$ не может быть отрицательным, получаем единственный возможный вариант: $h=0$.

Теперь, когда мы знаем значение высоты $h=0$, можем рассчитать площадь $S$ параллелограмма:
$$S=a\cdot h=14\text{см}\cdot 0\text{см}=0.$$

Таким образом, площадь параллелограмма равна нулю. Это означает, что в данном случае мы имеем дело не с параллелограммом, а с вырожденным случаем, когда его стороны и высота образуют прямой угол. В таком случае его площадь равна нулю.