Яка площа паралелограма, якщо його сторони мають довжини 14 см і 20 см, а кут між висотами з вершини тупого кута

Для решения этой задачи нам понадобятся формулы для вычисления площади параллелограмма и высоты, а также сведения о свойствах параллелограмма.

Площадь \(S\) параллелограмма можно вычислить, умножив длину одной из сторон \(a\) на длину высоты \(h\), опущенной на эту сторону:
\[S = a \cdot h.\]

Высота \(h\) параллелограмма — это перпендикуляр, опущенный из вершины параллелограмма на противоположную его сторону. Все высоты параллелограмма равны между собой.

Дано, что стороны параллелограмма имеют длины 14 см и 20 см. Нам нужно найти площадь параллелограмма.

Согласно свойствам параллелограмма, стороны, противостоящие вершинам с одинаковыми номерами, равны между собой. Если взять стороны, соединяющие вершину с номером 1 и вершину с номером 3, то они должны быть равны друг другу. Поэтому в нашем случае справедливо:
\[a = 14 \, \text{см},\]
\[b = 14 \, \text{см}.\]

Также из условия задачи известно, что косинус угла между высотами, опущенными из вершин с номерами 1 и 3, равен \(0.707\) (округленно до трех знаков после запятой), поскольку катеты равны, а гипотенуза равна сумме катетов.

Теперь нам осталось найти высоту \(h\) параллелограмма и подставить полученные значения в формулу для площади.

Воспользуемся теоремой косинусов в треугольнике со сторонами \(a = 14\) см, \(b = 14\) см и углом между ними \(45^\circ\):
\[\cos 45^\circ = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab},\]
где \(c\) — диагональ параллелограмма.

Диагональ параллелограмма \(c\) можно найти с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном диагональю, одной из сторон параллелограмма и перпендикулярной этой стороне высотой:
\[c^2 = a^2 + h^2.\]
Так как в этом треугольнике угол между \(a\) и \(h\) равен \(90^\circ\), то этот треугольник прямоугольный.

Подставим формулу для диагонали \(c\) в формулу для косинуса угла между высотами:
\[\cos 45^\circ = \frac{a^2 + b^2 - (a^2 + h^2)}{2ab},\]
Приведем уравнение к виду:
\[\frac{h^2}{ab} + \frac{a^2 + b^2}{2ab} = 1.\]

Подставим значения из задачи:
\[\frac{h^2}{14 \cdot 14} + \frac{14^2 + 14^2}{2 \cdot 14 \cdot 14} = 1,\]
\[\frac{h^2}{196} + \frac{392}{392} = 1,\]
\[\frac{h^2}{196} + 1 = 1.\]

Выразим \(h^2\) через общий знаменатель:
\[\frac{h^2 + 196}{196} = 1.\]

Умножим обе части уравнения на 196:
\[h^2 + 196 = 196,\]

\[h^2 = 0.\]

Так как квадрат высоты \(h\) не может быть отрицательным, получаем единственный возможный вариант: \(h = 0\).

Теперь, когда мы знаем значение высоты \(h = 0\), можем рассчитать площадь \(S\) параллелограмма:
\[S = a \cdot h = 14 \, \text{см} \cdot 0 \, \text{см} = 0.\]

Таким образом, площадь параллелограмма равна нулю. Это означает, что в данном случае мы имеем дело не с параллелограммом, а с вырожденным случаем, когда его стороны и высота образуют прямой угол. В таком случае его площадь равна нулю.