№1 Дано: Пусть AB=AD, LBAC=LCAD. Требуется доказать: ДАВС=ДАСD. Найдите LABC, если LCAD = 120 градусов. Изложите

Дано: В треугольнике ABC выполняются следующие условия: AB = AD, $\mathrm{\angle }BAC$ = $\mathrm{\angle }CAD$.

Требуется доказать: $\mathrm{\angle }DAVS$ = $\mathrm{\angle }DASD$.

Доказательство:

1. Используя условие AB = AD и свойство равных сторон, мы можем заключить, что AB = AD = DV.
2. Рассмотрим треугольники ABC и ACD. Учитывая условие LBAC = LCAD, мы можем сделать вывод, что треугольники ABC и ACD подобны по стороне-углу-стороне (ССУ).
3. По свойству подобных треугольников, соответствующие углы в подобных треугольниках равны. Таким образом, $\mathrm{\angle }ABC$ = $\mathrm{\angle }ACD$ = 120 градусов.
4. Рассмотрим треугольники ABD и ADV. Учитывая условие AB = AD, мы можем заключить, что треугольники ABD и ADV равнобедренные.
5. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Таким образом, у нас есть $\mathrm{\angle }DAB$ = $\mathrm{\angle }DAV$ = 60 градусов.
6. Посмотрим на четырехугольник AVSD. Он состоит из треугольников ADV и ASD.
7. Учитывая свойство суммы углов в четырехугольнике, $\mathrm{\angle }DAVS$ + $\mathrm{\angle }DASD$ = $\mathrm{\angle }DAV$ + $\mathrm{\angle }DVA$ + $\mathrm{\angle }DAS$ + $\mathrm{\angle }DSA$.
8. Вспомнив, что $\mathrm{\angle }DAV$ = $\mathrm{\angle }DAS$ = 60 градусов, мы можем заметить, что $\mathrm{\angle }DAVS$ + $\mathrm{\angle }DASD$ = 60 градусов + 60 градусов + $\mathrm{\angle }DVA$ + $\mathrm{\angle }DSA$.
9. Так как $\mathrm{\angle }DVA$ + $\mathrm{\angle }DSA$ = $\mathrm{\angle }ABC$ + $\mathrm{\angle }ACD$, то $\mathrm{\angle }DAVS$ + $\mathrm{\angle }DASD$ = 60 градусов + 60 градусов + $\mathrm{\angle }ABC$ + $\mathrm{\angle }ACD$.
10. Используя условие LCAD = 120 градусов, мы можем заменить $\mathrm{\angle }ABC$ на 120 градусов.
11. Теперь мы можем утверждать, что $\mathrm{\angle }DAVS$ + $\mathrm{\angle }DASD$ = 60 градусов + 60 градусов + 120 градусов + 120 градусов.
12. После простых вычислений получим $\mathrm{\angle }DAVS$ + $\mathrm{\angle }DASD$ = 360 градусов.
13. Из этого следует, что $\mathrm{\angle }DAVS$ = $\mathrm{\angle }DASD$.

Таким образом, мы доказали, что $\mathrm{\angle }DAVS$ = $\mathrm{\angle }DASD$.