Яка площа квадрата, вписаного в коло, якщо площа правильного шестикутника, описаного навколо цього кола, дорівнює

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о геометрии и формулах для вычисления площади квадрата и шестиугольника.

Площадь квадрата можно найти, зная длину его стороны. Обозначим сторону квадрата через \(a\). Тогда площадь квадрата будет равна \(S_{\text{кв}} = a^2\).

Площадь правильного шестиугольника можно найти, зная длину его стороны. Обозначим сторону шестиугольника через \(b\). Обратите внимание, что сторона шестиугольника и диаметр описанной окружности связаны следующим образом: \(b = 2r\), где \(r\) - радиус окружности. Площадь правильного шестиугольника можно вычислить по формуле \(S_{\text{ш}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot b^2\).

Теперь возвращаемся к исходной задаче. По условию площадь шестиугольника равна \(6 \sqrt{3}\). Обозначим радиус окружности через \(r\). Тогда сторона шестиугольника будет равна \(b = 2r\).

Следовательно, площадь шестиугольника можно записать следующим образом:

\[S_{\text{ш}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2r)^2\]

Подставим известное значение площади:

\[6\sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot (2r)^2\]

Упростим данное выражение:

\[12 = 24r^2\]

Разделим обе части уравнения на 24:

\[r^2 = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Теперь, зная радиус окружности, можем найти сторону квадрата, который вписан в эту окружность. Строим прямую, проходящую через центр окружности и одну из вершин шестиугольника. Эта прямая является диагональю квадрата. Диагональ квадрата равна удвоенному радиусу окружности, или \(d = 2r\). Строим равнобедренный треугольник, образованный диагональю квадрата и двумя его сторонами равными стороне квадрата. Обозначим сторону квадрата \(a\). По теореме Пифагора имеем:

\[a^2 + a^2 = (2r)^2\]

Упростим данное выражение:

\[2a^2 = 4r^2\]

Подставим известное значение радиуса:

\[2a^2 = 4\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2\]

Раскроем скобки и упростим:

\[2a^2 = 4 \cdot \frac{2}{4} = 2\]

Разделим обе части уравнения на 2:

\[a^2 = \frac{2}{2} = 1\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[a = \sqrt{1} = 1\]

Таким образом, сторона квадрата, вписанного в данную окружность, равна 1. Теперь мы можем найти его площадь, подставив значение стороны в формулу \(S_{\text{кв}} = a^2\):

\[S_{\text{кв}} = 1^2 = 1\]

Итак, площадь квадрата, вписанного в данную окружность, равна 1.