Яка площа круга, який вписаний у трикутник із сторонами довжиною 30см, 26см?

Для решения данной задачи нам понадобится одно важное математическое понятие - радиус вписанной окружности треугольника. Радиус вписанной окружности является отрезком, проведенным из центра окружности до одного из углов треугольника. Важно отметить, что радиус вписанной окружности перпендикулярен соответствующей стороне треугольника, и его длина равна произведению полупериметра треугольника на обратное значение его площади.

В нашей задаче у нас есть треугольник с известными сторонами длиной 30 см, 26 см и неким предполагаемым радиусом окружности r. Давайте найдем радиус вписанной окружности и затем рассчитаем площадь круга.

1. Рассчитаем полупериметр треугольника, используя формулу:

\[s = \frac{{a + b + c}}{2}\]

Где a, b и c - длины сторон треугольника. В нашем случае:

\[s = \frac{{30 + 26 + 2r}}{2} = 28 + r\]

2. Найдем площадь треугольника, используя формулу Герона:

\[S_{\triangle} = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}\]

Где \(S_{\triangle}\) - площадь треугольника. В нашем случае:

\[S_{\triangle} = \sqrt{(28 + r)(28 + r - 30)(28 + r - 26)(28 + r - 2r)}\]

3. Поскольку радиус вписанной окружности равен произведению полупериметра на обратное значение площади треугольника, у нас есть уравнение:

\[r = \frac{{S_{\triangle}}}{{s}} = \frac{{\sqrt{(28 + r)(2r - 2)(28 - 2r)}}}{{28 + r}}\]

4. Применимся к квадрату обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от корня:

\[r^2 = \left(\frac{{\sqrt{(28 + r)(2r - 2)(28 - 2r)}}}{{28 + r}}\right)^2\]

5. Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно r. Разрешите его, приведя его к виду:

\[r^2 = \frac{{(28 + r)(2r - 2)(28 - 2r)}}{{(28 + r)^2}}\]

6. Распространим скобки и упростим уравнение:

\[r^2 = \frac{{4(r - 1)(14 - r)(7 + r)}}{{(28 + r)^2}}\]

7. Затем умножим обе части уравнения на \((28 + r)^2\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[(28 + r)^2 \cdot r^2 = 4(r - 1)(14 - r)(7 + r)\]

8. Распространим скобки и получим квадратное уравнение:

\[r^4 + 56r^3 + 784r^2 - 784r + 2r^3 + 112r^2 - 112r - 28r^2 - 4r + 392 = 4(r^2 - r)(14 - r)(7 + r)\]

9. Упростим выражение и перепишем уравнение в стандартной форме:

\[r^4 + 58r^3 + 168r^2 - 900r + 392 = 4(r^2 - r)(14 - r)(7 + r)\]

В конечном итоге, чтобы решить это уравнение и найти значение r, нам потребуется применить методы решения кубических уравнений. Хотя это можно сделать, этот процесс может быть достаточно сложным и занимать много времени. Чтобы упростить задачу, я советую использовать калькулятор или компьютерную программу для аналитического решения этого уравнения.

Итак, мы не можем дать точный ответ на эту задачу без дополнительных вычислений. Однако, вы можете воспользоваться этим подробным объяснением и попросить вашего учителя или использовать онлайн-инструменты для получения конкретного значения радиуса окружности и площади вписанного круга.