Какова площадь круга, который вписан в правильный восьмиугольник со стороной?

Чтобы найти площадь круга, вписанного в правильный восьмиугольник, нам потребуется некоторое знание геометрии и некоторые формулы.

Давайте начнем с построения восьмиугольника. Правильный восьмиугольник - это многоугольник с восемью равными сторонами и восемью равными углами. Для простоты предположим, что сторона этого восьмиугольника равна \(s\).

Теперь перейдем к решению задачи. Очень важно знать, что данный правильный восьмиугольник можно разбить на восемь равных изосекторов (частей), и каждый из них является равнобедренным треугольником. Угол в центре каждого изосектора равен \(45^\circ\).

Согласно свойству вписанного угла, угол внутри такого треугольника, расположенного на окружности, будет равен половине угла в центре окружности. Таким образом, угол внутри каждого изосектора будет \(45^\circ / 2 = 22.5^\circ\).

Зная углы внутри треугольника, мы можем найти его площадь. Так как трегуольники равнобедренные, а у нас 8 таких треугольников, образующие восьмиугольник, мы можем воспользоваться формулой для площади равнобедренного треугольника:

\[S_{\text{тр}} = \frac{a^2}{4} \cdot \sqrt{4b^2 - a^2}\]

Где \(a\) - длина равных сторон треугольника, а \(b\) - длина основания (это отрезок, проведенный из вершины треугольника к середине основания).

В нашем случае, длина основания равна \(s\) (так как прямоугольник имеет равные стороны), а длина равных сторон равна длине радиуса окружности, вписанной в треугольник.

\[r = s/2\]

Разделив каждую из этих формул на два, получаем:

\[a = 2r = s\]

\[b = r = s/2\]

Подставим значения \(a\) и \(b\) в формулу для площади треугольника:

\[S_{\text{тр}} = \frac{(s)^2}{4} \cdot \sqrt{4(s/2)^2 - (s)^2/4} = \frac{s^2}{4} \cdot \sqrt{s^2 - s^2/4}\]

\[S_{\text{тр}} = \frac{s^2}{4} \cdot \sqrt{3s^2/4} = \frac{s^2}{4} \cdot \frac{s\sqrt{3}}{2} = \frac{s^3\sqrt{3}}{8}\]

Так как восьмиугольник состоит из восьми таких треугольников, умножим площадь треугольника на 8:

\[S_{\text{восьмиугольник}} = 8 \cdot \frac{s^3\sqrt{3}}{8} = s^3\sqrt{3}\]

Итак, получаем, что площадь восьмиугольника составляет \(s^3\sqrt{3}\).

Теперь, чтобы найти площадь вписанного круга, нам необходимо знать, что радиус круга равен половине длины стороны восьмиугольника:

\[r_{\text{круга}} = \frac{s}{2}\]

Теперь мы можем использовать формулу для площади круга:

\[S_{\text{круга}} = \pi r^2\]

Подставим значение радиуса круга и выполним требуемые вычисления:

\[S_{\text{круга}} = \pi \left(\frac{s}{2}\right)^2 = \pi \cdot \frac{s^2}{4}\]

Таким образом, площадь вписанного круга в правильный восьмиугольник равна \(\pi \cdot \frac{s^2}{4}\).