1) Найдите поверхность шара, вписанного в куб, если полная поверхность куба равна 1170/π. 2) Определите объем шара

Конечно! Давайте решим эти задачи.

1) Найдем поверхность шара, вписанного в куб.
Пусть сторона куба равна \(a\).
Для начала, выразим апофему шара, вписанного в куб, через длину его радиуса.
Радиус шара будет равен половине длины его диагонали, которая является диагональю грани куба, то есть \(\frac{a\sqrt{2}}{2}\).
Апофема шара равна корню квадратному из суммы квадратов радиуса и диагонали основания куба:
\(r^2 + (\frac{a}{2})^2 = (\frac{a\sqrt{2}}{2})^2\).
Рассчитаем апофему шара:
\(r^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{2}\).
Отсюда:
\(r^2 = \frac{a^2}{2} - (\frac{a}{2})^2\).
\(r^2 = \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{4}\).
\(r^2 = \frac{2a^2 - a^2}{4}\).
\(r^2 = \frac{a^2}{4}\).
\(r = \frac{a}{2}\).

Таким образом, радиус шара равен половине длины стороны куба.
Теперь, найдем поверхность шара, используя формулу \(S = 4\pi r^2\).
\(S = 4\pi (\frac{a}{2})^2 = \pi a^2\).

Получили, что поверхность шара, вписанного в куб, равна \(\pi a^2\).
Значение полной поверхности куба дано и равно \(\frac{1170}{\pi}\).
Таким образом, \(\pi a^2 = \frac{1170}{\pi}\).
Домножим обе части на \(\pi\):
\(a^2 = \frac{1170}{\pi^2}\).
Извлечем квадратный корень:
\(a = \sqrt{\frac{1170}{\pi^2}}\).

Таким образом, сторона куба равна \(\sqrt{\frac{1170}{\pi^2}}\).
А поверхность шара, вписанного в этот куб, равна \(\pi a^2 = \pi \cdot \frac{1170}{\pi^2} = \frac{1170}{\pi}\).

2) Объем шара с радиусом 6 см.
Объем шара можно вычислить с помощью формулы \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\).
Подставим значение радиуса: \(V = \frac{4}{3}\pi \cdot 6^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 216 = 288\pi \approx 904,78\) см³.

Таким образом, объем шара с радиусом 6 см равен примерно 904,78 см³.

3) Рассчитаем объем цилиндра.
У нас есть диагональ осевого сечения цилиндра, равная 5 см, и угол, который она образует с основанием цилиндра, равный 60 градусов.
Чтобы решить эту задачу геометрически, нам нужно найти радиус и высоту цилиндра.

Рассмотрим треугольник, состоящий из диагонали осевого сечения цилиндра, радиуса и отрезка, соединяющего центр основания цилиндра с серединой его диагонали. Этот треугольник является прямоугольным со сторонами, равными радиусу и половине диагонали основания цилиндра.
Таким образом, \(\sin{60^\circ} = \frac{\text{половина диагонали основания}}{\text{радиус}}\).
Так как \(\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то
\(\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\text{половина диагонали основания}}{\text{радиус}}\).
Распишем это выражение:
\(\text{радиус} = \frac{2 \cdot \text{половина диагонали основания}}{\sqrt{3}} = \frac{\text{диагональ основания}}{\sqrt{3}}\).

Теперь мы можем рассчитать радиус цилиндра.
Радиус равен \(\frac{5}{\sqrt{3}}\).

Далее, зная радиус и угол, мы можем найти высоту цилиндра. Высота цилиндра равна расстоянию от центра основания до вершины диагонали осевого сечения, а оно равно \(r\sin{60^\circ} = \frac{5}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{5}{2}\) см.

Теперь, рассчитаем объем цилиндра, используя формулу \(V = \pi r^2 h\).
\(V = \pi \cdot (\frac{5}{\sqrt{3}})^2 \cdot \frac{5}{2} = \frac{25\pi}{3\sqrt{3}} \approx 15,68\) см³.

Таким образом, объем цилиндра равен примерно 15,68 см³.