Яка площа бічного перерізу конуса, якщо його висота становить 6 см, а кут при вершині осьового перерізу дорівнює

Для решения этой задачи нам понадобится знать формулу для площади боковой поверхности конуса. Формула звучит следующим образом:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

где \( S \) - площадь боковой поверхности конуса, \( \pi \) - математическая константа, примерное значение которой равно 3.14, \( r \) - радиус основания конуса и \( l \) - образующая конуса.

Для решения задачи нам нужно найти радиус основания и образующую конуса.

У нас есть информация о высоте конуса, которая равна 6 см. Зная это, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения образующей конуса. Применяя теорему косинусов к треугольнику, образованному радиусом, образующей и высотой конуса, мы можем выразить образующую:

\[ l = \sqrt{h^2 + r^2} \]

где \( h \) - высота конуса, \( r \) - радиус основания конуса и \( l \) - образующая.

Теперь нам нужно вычислить радиус основания. Мы можем воспользоваться фактом, что у нас есть информация о косинусе угла при вершине осевого перереза, который равен 120 градусам.

Радиус конуса и образующая образуют прямоугольный треугольник. Используя тригонометрическое соотношение, мы можем записать косинус угла:

\[ \cos(120^\circ) = \frac{r}{l} \]

Подставляя выражение для образующей, получим:

\[ \cos(120^\circ) = \frac{r}{\sqrt{h^2 + r^2}} \]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно \( r \):

\[ \sqrt{h^2 + r^2} \cdot \cos(120^\circ) = r \]

\[ (h^2 + r^2) \cdot \cos^2(120^\circ) = r^2 \]

\[ h^2 \cdot \cos^2(120^\circ) = r^2 - r^2 \cdot \cos^2(120^\circ) \]

\[ h^2 \cdot \cos^2(120^\circ) = r^2(1 - \cos^2(120^\circ)) \]

\[ h^2 \cdot \cos^2(120^\circ) = r^2 \cdot \sin^2(120^\circ) \]

\[ r^2 = \frac{h^2 \cdot \cos^2(120^\circ)}{\sin^2(120^\circ)} \]

\[ r = \sqrt{\frac{h^2 \cdot \cos^2(120^\circ)}{\sin^2(120^\circ)}} \]

Теперь, имея значение радиуса основания \( r \) и высоты конуса \( h \), мы можем рассчитать площадь боковой поверхности конуса по формуле:

\[ S = \pi \cdot r \cdot l \]

\[ S = \pi \cdot r \cdot \sqrt{h^2 + r^2} \]

Подставляя значения, получим:

\[ S = 3.14 \cdot \sqrt{\frac{6^2 \cdot \cos^2(120^\circ)}{\sin^2(120^\circ)}} \]

Теперь, решив это уравнение, мы получим значение площади боковой поверхности конуса.