Яка є об єм правильної трикутної піраміди, вписаної в кулю радіусом 7 см із двогранним кутом при ребрі основи

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о формулах для объема пирамиды, радиуса сферы и тригонометрии.

Первым шагом необходимо найти высоту пирамиды. У нас есть правильная треугольная пирамида, в которой угол между ребром основания и высотой равен 60 градусам. По определению, этот угол делит треугольник на два равных прямоугольных треугольника. Так как мы знаем радиус сферы, который является высотой треугольной пирамиды, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения основания.

Пусть сторона треугольника основания равна \(a\). Тогда половина основания будет равна \(\frac{a}{2}\). Так как у нас прямоугольный треугольник, где один угол равен 60 градусам, мы можем использовать тригонометрические соотношения для нахождения значения основания. В нашем случае, мы можем использовать соотношение \(\sin(60^\circ) = \frac{\frac{a}{2}}{r}\), где \(r\) - радиус сферы.

Теперь мы можем найти значение \(a\):
\[\frac{a}{2} = r \cdot \sin(60^\circ)\]
\[a = 2r \cdot \sin(60^\circ)\]

Подставим значение радиуса, равного 7 см:
\[a = 2 \cdot 7 \cdot \sin(60^\circ)\]
\[a = 14 \cdot \sqrt{3} \approx 24.25\ см\]

Теперь, когда у нас есть высота пирамиды и длина стороны основания, мы можем найти объем пирамиды. Формула для объема правильной пирамиды определяется как \(\frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot h\), где \(S_{осн}\) - площадь основания пирамиды, \(h\) - высота пирамиды.

Площадь основания равна \(\frac{1}{2} \cdot a \cdot h_{осн}\), где \(a\) - длина стороны основания, а \(h_{осн}\) - высота треугольника, определенная как \(h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a\).

Подставим все значения в формулу объема пирамиды:
\[V = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \cdot h\]
\[V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3} \cdot a^2 \cdot h\]

Подставим значения \(a\) и \(h\):
\[V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3} \cdot (14 \cdot \sqrt{3})^2 \cdot 7\]
\[V = \frac{1}{6} \cdot \sqrt{3} \cdot 588 \cdot 7\]
\[V = \frac{1}{6} \cdot 2,039 \cdot 7\]
\[V \approx 238,45\ \text{см}^3\]

Таким образом, объем правильной треугольной пирамиды, вписанной в сферу радиусом 7 см, с двугранным углом при ребре основания 60 градусов, составляет около 238,45 кубических сантиметров.