Яка кількість членів у геометричній прогресії (сn), якщо с2=27 і с5=3? Що буде значення суми перших 6 членів (S6)?

Для решения этой задачи мы должны найти формулу для \(n\)-го члена геометрической прогрессии и использовать ее для нахождения количества членов в прогрессии и суммы первых шести членов.

Формула для \(n\)-го члена геометрической прогрессии (обозначим \(с_n\)) выглядит следующим образом:

\[с_n = с_1 \cdot r^{(n-1)}\]

Где \(с_1\) - первый член прогрессии, \(r\) - знаменатель прогрессии, а \(n\) - номер члена прогрессии.

По условию задачи дано, что \(с_2 = 27\) и \(с_5 = 3\):

\[27 = с_1 \cdot r^{(2-1)}\]
\[3 = с_1 \cdot r^{(5-1)}\]

Теперь мы можем решить эту систему уравнений и найти значения \(с_1\) и \(r\). Для этого нам потребуется разделить уравнения друг на друга:

\[\frac{27}{3} = \frac{с_1 \cdot r^{(2-1)}}{с_1 \cdot r^{(5-1)}}\]
\[9 = \frac{r}{r^4}\]

Для упрощения уравнения воспользуемся свойствами степеней:

\[9 = \frac{r}{r^4} = r^{(1-4)} = r^{-3}\]

Теперь у нас есть уравнение с отрицательной степенью. Чтобы избавиться от отрицательной степени, возведем обе части уравнения в степень -1:

\[9^{-1} = (r^{-3})^{-1}\]
\[\frac{1}{9} = r^3\]

Теперь мы найдем значение \(r\) путем извлечения кубического корня из обеих частей уравнения:

\[r = \sqrt[3]{\frac{1}{9}}\]
\[r = \frac{1}{3}\]

Теперь, когда у нас есть значение \(r\), мы можем вернуться к одному из исходных уравнений, чтобы найти \(с_1\). Давайте воспользуемся уравнением \(3 = с_1 \cdot r^{(5-1)}\):

\[3 = с_1 \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^4\]
\[3 = с_1 \cdot \frac{1}{81}\]
\[243 = с_1\]

Таким образом, мы найдем, что первый член прогрессии \(с_1 = 243\) и знаменатель прогрессии \(r = \frac{1}{3}\).

Теперь мы можем использовать формулу \(с_n = с_1 \cdot r^{(n-1)}\), чтобы найти количество членов в прогрессии и сумму первых шести членов.

Количество членов в прогрессии:

\[n = \frac{\log(c_n / c_1)}{\log(r)} + 1\]
\[n = \frac{\log(с_5 / с_1)}{\log(r)} + 1\]
\[n = \frac{\log(3 / 243)}{\log\left(\frac{1}{3}\right)} + 1\]
\[n = \frac{-2}{-1} + 1\]
\[n = 2 + 1\]
\[n = 3\]

Таким образом, в геометрической прогрессии \(с_n\) содержится 3 члена.

Сумма первых шести членов прогрессии:

\[S_6 = с_1 \cdot \frac{1 - r^n}{1 - r}\]
\[S_6 = 243 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^6}{1 - \frac{1}{3}}\]
\[S_6 = 243 \cdot \frac{1 - \frac{1}{729}}{\frac{2}{3}}\]
\[S_6 = 243 \cdot \frac{\frac{728}{729}}{\frac{2}{3}}\]
\[S_6 = 243 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2}\]
\[S_6 = 243 \cdot \frac{364}{729}\]
\[S_6 = \frac{88932}{729}\]

Таким образом, сумма первых шести членов прогрессии \(S_6 = \frac{88932}{729}\).