Яка фігура має меншу площу серед тих, що обмежені лініями y=1/2x^2 і розділені прямою y=x+4?

Для того, чтобы найти фигуру с наименьшей площадью среди тех, которые ограничены кривой \(y = \frac{1}{2}x^2\) и разделены прямой \(y = x + 4\), нам необходимо вычислить площадь каждой фигуры и сравнить их.

Данная задача сводится к вычислению площади между двумя кривыми в определенном интервале.

Для начала, найдем точки пересечения этих двух уравнений. Решим систему уравнений:

\[
\begin{cases}
y = \frac{1}{2}x^2 \\
y = x + 4
\end{cases}
\]

Поставим второе уравнение в формулу первого, чтобы найти значения x:

\[
\frac{1}{2}x^2 = x + 4
\]

Умножим все члены уравнения на 2 для упрощения:

\[x^2 = 2x + 8\]

Перенесем все члены влево и получим квадратное уравнение:

\[x^2 - 2x - 8 = 0\]

Факторизуем это уравнение, чтобы найти значения x:

\[(x - 4)(x + 2) = 0\]

Поэтому у нас есть две точки пересечения: \(x = 4\) и \(x = -2\).

Теперь мы можем определить интервал, ограниченный этими двумя точками пересечения. Для этого можно использовать абсциссу точек пересечения кривых, так как мы ищем область между ними.

Минимальная точка будет описана формулой \(x = -2\), а максимальная - \(x = 4\).

Теперь рассмотрим две фигуры.

Первая фигура ограничена кривой \(y = \frac{1}{2}x^2\) и прямой \(y = x + 4\). Чтобы найти площадь этой фигуры, нам нужно найти интеграл разности кривых от x = -2 до x = 4:

\[
\text{Площадь}_1 = \int_{-2}^{4} \left(\frac{1}{2}x^2 - (x + 4)\right) \, dx
\]

Проинтегрируем это выражение:

\[
\text{Площадь}_1 = \left[\frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{2}x^2 - 4x\right]_{-2}^{4}
\]

Вычислим значения выражения при \(x = 4\) и при \(x = -2\) и вычтем:

\[
\text{Площадь}_1 = \left(\frac{1}{6}(4)^3 - \frac{1}{2}(4)^2 - 4(4)\right) - \left(\frac{1}{6}(-2)^3 - \frac{1}{2}(-2)^2 - 4(-2)\right)
\]

\[
\text{Площадь}_1 = \frac{8}{3} - 8 - 16 - \left(-\frac{8}{3} + 2 - 8\right)
\]

\[
\text{Площадь}_1 = \frac{8}{3} - 8 - 16 + \frac{8}{3} - 2 + 8
\]

\[
\text{Площадь}_1 = \frac{16}{3} - \frac{24}{3}
\]

\[
\text{Площадь}_1 = \frac{-8}{3}
\]

Вторая фигура ограничена теми же двумя кривыми, но при этом порядок вычитания различается:

\[
\text{Площадь}_2 = \int_{-2}^{4} \left((x + 4) - \frac{1}{2}x^2\right) \, dx
\]

Таким образом, для этой фигуры мы вычитаем кривую \(y = \frac{1}{2}x^2\) из прямой \(y = x + 4\) в пределах интервала от x = -2 до x = 4.

Проинтегрируем это выражение:

\[
\text{Площадь}_2 = \left[\frac{1}{2}x^2 - 4x\right]_{-2}^{4}
\]

Вычислим значения выражения при \(x = 4\) и при \(x = -2\) и вычтем:

\[
\text{Площадь}_2 = \left(\frac{1}{2}(4)^2 - 4(4)\right) - \left(\frac{1}{2}(-2)^2 - 4(-2)\right)
\]

\[
\text{Площадь}_2 = \frac{1}{2} \cdot 16 - 16 - \left(\frac{1}{2} \cdot 4 - 8\right)
\]

\[
\text{Площадь}_2 = 8 - 16 - (2 - 8)
\]

\[
\text{Площадь}_2 = 8 - 16 - 2 + 8
\]

\[
\text{Площадь}_2 = -2
\]

Итак, площадь первой фигуры (\(\text{Площадь}_1\)) равна \(-\frac{8}{3}\), а площадь второй фигуры (\(\text{Площадь}_2\)) равна \(-2\).

Исходя из этого, мы можем заключить, что вторая фигура имеет меньшую площадь, чем первая фигура.