Если суммарное количество мест в зале делится на 997, то какое будет наименьшее количество рядов в зале, если в каждом

Давайте решим эту задачу шаг за шагом. Мы должны найти наименьшее количество рядов в зале, где суммарное количество мест делится на 997.

Пусть у нас есть \(n\) рядов в зале.

В каждом ряду на первом месте будет 1 место, на втором - 2 места, на третьем - 3 места и так далее.

Таким образом, в первом ряду будет 1 место, во втором ряду - 2 места, в третьем ряду - 3 места и так далее до \(n\)-го ряда, где будет \(n\) мест.

Чтобы найти суммарное количество мест в зале, мы должны сложить количество мест в каждом ряду.

Сумма всех чисел от 1 до \(n\) равна \(\frac{{n(n+1)}}{2}\). Если это количество мест делится на 997 без остатка, тогда получим ответ.

Итак, мы должны решить уравнение \(\frac{{n(n+1)}}{2} \equiv 0 \pmod{997}\).

Чтобы решить это уравнение, мы можем просто перебрать значения \(n\) и проверить, когда остаток от деления будет равен 0.

Давайте проделаем это для значений \(n\) от 1 до 997 и найдём наименьшее значение \(n\), при котором условие выполняется.

\[
\begin{align*}
n=1: &\quad \frac{{1(1+1)}}{2} = 1 \equiv 1 \pmod{997} \\
n=2: &\quad \frac{{2(2+1)}}{2} = 3 \equiv 3 \pmod{997} \\
n=3: &\quad \frac{{3(3+1)}}{2} = 6 \equiv 6 \pmod{997} \\
n=4: &\quad \frac{{4(4+1)}}{2} = 10 \equiv 10 \pmod{997} \\
n=5: &\quad \frac{{5(5+1)}}{2} = 15 \equiv 15 \pmod{997} \\
\ldots \\
n=997: &\quad \frac{{997(997+1)}}{2} \equiv 0 \pmod{997}
\end{align*}
\]

Таким образом, наш ответ: наименьшее количество рядов в зале будет 997, чтобы суммарное количество мест в зале делилось на 997 без остатка.