Яка довжина сторони правильного трикутника, якому вписаний коло радіусом 9√3 см? Який радіус кола, вписаного

Для начала, давайте разберемся с основными понятиями.

Правильный треугольник - это треугольник, все стороны которого имеют одинаковую длину, а все углы равны 60 градусов.

Вписанное круглое тело - это круг, который полностью помещается внутри фигуры и касается всех сторон фигуры.

Внутренний круг, вписанный в правильный треугольник, будет касаться всех трех сторон треугольника.

Теперь, перейдем к решению задачи.

Для начала, найдем длину стороны правильного треугольника, в котором вписан круг радиусом \(9\sqrt{3}\) см.

Мы знаем, что радиус вписанного круга - это расстояние от центра круга до любой стороны треугольника. Также, мы знаем, что внутренний угол треугольника, образованный стороной и радиусом круга, составляет 90 градусов.

Поэтому, мы можем построить прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза - это радиус круга, равная \(9\sqrt{3}\) см, а одна из катетов - это половина длины стороны треугольника, которую мы ищем.

Мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения второго катета:

\[
\text{гипотенуза}^2 = \text{катет}^2 + \text{катет}^2
\]

\[
(9\sqrt{3})^2 = x^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2
\]

\[
243 = x^2 + \frac{x^2}{4}
\]

\[
\frac{4x^2}{4} + \frac{x^2}{4} = \frac{243}{4}
\]

\[
\frac{5x^2}{4} = \frac{243}{4}
\]

\[
5x^2 = 243
\]

\[
x^2 = \frac{243}{5}
\]

\[
x = \sqrt{\frac{243}{5}}
\]

Таким образом, длина стороны треугольника, в котором вписан круг радиусом \(9\sqrt{3}\) см, равна \(\sqrt{\frac{243}{5}}\) см.

Теперь, давайте найдем радиус круга, вписанного в этот треугольник.

Мы знаем, что радиус вписанного круга равен половине стороны треугольника, деленной на тангенс половины угла, образованного радиусом и стороной треугольника.

Тангенс половины угла можно найти, зная, что угол треугольника равен 60 градусов:

\[
\tan \left(\frac{60}{2}\right) = \tan 30 = \frac{1}{\sqrt{3}}
\]

Теперь, мы можем найти радиус вписанного круга:

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \frac{\text{Длина стороны треугольника}}{2 \cdot \tan \left(\frac{60}{2}\right)}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \frac{\sqrt{\frac{243}{5}}}{2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \frac{\sqrt{\frac{243}{5}}}{\frac{2}{\sqrt{3}}}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \sqrt{\frac{243}{5}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \sqrt{\frac{243 \cdot 3}{5}} \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \sqrt{\frac{729}{5}} \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \frac{\sqrt{729}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \frac{27}{\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{2}
\]

\[
\text{Радиус вписанного круга} = \frac{27}{2\sqrt{5}}
\]

Таким образом, радиус вписанного круга, вписанного в треугольник со стороной \(x = \sqrt{\frac{243}{5}}\) см, равен \(\frac{27}{2\sqrt{5}}\) см.