Яка довжина сторони основи правильної чотирикутної піраміди, якщо її апофема дорівнює 5 см, а площа бічної поверхні

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Пусть сторона основания прямоугольной пирамиды равна \(a\).
Апофема пирамиды \(AF\) является высотой боковой грани. По определению, апофема это расстояние от центра основания до середины боковой грани.

Поскольку пирамида правильная, боковая грань - это равносторонний треугольник и её высота делит его на два прямоугольных треугольника.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину боковой грани треугольника: \[AB^2 = AF^2 + BF^2\]

Где:
\(AB\) - сторона треугольника
\(AF\) - апофема пирамиды
\(BF\) - половина стороны треугольника

Так как пирамида правильная, \(BF\) равняется половине стороны основания \(\frac{a}{2}\).

Подставив эти значения в теорему Пифагора, получим:
\[AB^2 = AF^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Теперь мы можем решить это уравнение относительно стороны основания \(a\).
Площадь боковой поверхности пирамиды можно выразить через её сторону основания и апофему.

Площадь боковой поверхности - это площадь четырех равносторонних треугольников, составляющих стороны пирамиды.

Площадь равностороннего треугольника с длиной стороны \(AB\) и апофемой \(AF\) может быть найдена с использованием формулы:
\[S_{\text{треугольника}} = \frac{AB \cdot AF}{2}\]

Таким образом, площадь боковой поверхности можно найти, умножив площадь одного треугольника на 4:
\[80 = 4 \cdot \frac{AB \cdot AF}{2}\]

Теперь, когда у нас есть два уравнения, связывающих \(AB\) и \(AF\), мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значение стороны основания \(a\).

Для начала решим второе уравнение относительно \(AB\):

\[80 = 2AB \cdot AF\]
\[AB = \frac{80}{2 \cdot AF}\]

Теперь подставим значение \(AB\) в первое уравнение:

\[\left(\frac{80}{2 \cdot AF}\right)^2 = AF^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

Выразим \(AF\) через \(a\):

\[AF = \sqrt{\left(\frac{80}{2 \cdot AF}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Теперь мы можем решить это уравнение численно. Подставим значение \(AF = 5\) и найдем \(a\):

\[5 = \sqrt{\left(\frac{80}{2 \cdot 5}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

\[5 = \sqrt{\left(\frac{80}{10}\right)^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

\[5 = \sqrt{64 - \left(\frac{a}{2}\right)^2}\]

Возводим в квадрат:

\[25 = 64 - \left(\frac{a}{2}\right)^2\]

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 64 - 25\]

\[\left(\frac{a}{2}\right)^2 = 39\]

\[\frac{a}{2} = \sqrt{39}\]

\[a = 2 \cdot \sqrt{39}\]

Таким образом, длина стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равна \(2 \cdot \sqrt{39}\) см.