Яка довжина радіуса кола, що вписане в правильний трикутник зі стороною

Яка довжина радіуса кола, що вписане в правильний трикутник зі стороною 2√3 см?
Загадочный_Убийца

Загадочный_Убийца

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равностороннего треугольника, а также свойства вписанных и центральных углов.

Давайте обозначим сторону равностороннего треугольника через a, а радиус вписанного круга - через r.

Свойство равностороннего треугольника гласит, что все его стороны равны между собой. Таким образом, каждая сторона равностороннего треугольника имеет длину a.

Также известно, что вписанный в равносторонний треугольник круг касается всех трех сторон треугольника. Это означает, что расстояние от центра круга до каждой стороны равностороннего треугольника одинаковое и равно радиусу круга r.

Теперь нам нужно определить, какое именно расстояние от центра круга до стороны треугольника нам необходимо вычислить. В равностороннем треугольнике каждая сторона является высотой, медианой и медианой, проведенной к углу.

Пусть мы хотим найти высоту h треугольника, проведенную из вершины треугольника до стороны, вопрос задается неполным, я предполагаю, что именно это требуется.

Давайте представим треугольник с вершиной внизу и стороной a горизонтально. Для удобства обозначения, катеты треугольника, прилегающие к углам не из вершины, назовем b и c. Высоты, проведенные к основанию треугольника, обозначим как h1 и h2.

Нарисуем расстояние от центра круга до стороны треугольника, пусть это будет h.

ABCHH1H ||||||||||||||||||||||||||||||aa2aa2aa2ra2a2aa2aa2

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для выделенных рисунком прямоугольных треугольников. Для треугольников ABH и BCH мы можем записать следующие уравнения:

AH12=AB2BH12(1)
BH2=BC2CH2(2)

Так как треугольник равносторонний, AB=BC=a, поэтому уравнения (1) и (2) могут быть переписаны следующим образом:

AH12=a2(a2r)2(3)
BH2=a2r2(4)

Так как AH1=BH, мы можем приравнять уравнения (3) и (4) и решить их относительно неизвестных. Получаем:

a2(a2r)2=a2r2

Упрощая уравнение, мы получаем:

(a2r)2=r2

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

a24ar+r2=r2

Отсюда можно увидеть, что ar=a24, и решить это уравнение относительно радиуса r:

r=a4

Таким образом, длина радиуса вписанного в правильный равносторонний треугольник круга равна четверти длины стороны треугольника. Возвращаясь к исходной задаче, если сторона треугольника равна a, то длина радиуса будет равна a4.

Надеюсь, этот пошаговый разбор помог вам понять, как получить ответ на эту задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.
Знаешь ответ?
Задать вопрос
Привет!
hello