Яка довжина радіуса кола, що вписане в правильний трикутник зі стороною

Для решения этой задачи нам понадобится использовать свойства равностороннего треугольника, а также свойства вписанных и центральных углов.

Давайте обозначим сторону равностороннего треугольника через $a$, а радиус вписанного круга - через $r$.

Свойство равностороннего треугольника гласит, что все его стороны равны между собой. Таким образом, каждая сторона равностороннего треугольника имеет длину $a$.

Также известно, что вписанный в равносторонний треугольник круг касается всех трех сторон треугольника. Это означает, что расстояние от центра круга до каждой стороны равностороннего треугольника одинаковое и равно радиусу круга $r$.

Теперь нам нужно определить, какое именно расстояние от центра круга до стороны треугольника нам необходимо вычислить. В равностороннем треугольнике каждая сторона является высотой, медианой и медианой, проведенной к углу.

Пусть мы хотим найти высоту $h$ треугольника, проведенную из вершины треугольника до стороны, вопрос задается неполным, я предполагаю, что именно это требуется.

Давайте представим треугольник с вершиной внизу и стороной $a$ горизонтально. Для удобства обозначения, катеты треугольника, прилегающие к углам не из вершины, назовем $b$ и $c$. Высоты, проведенные к основанию треугольника, обозначим как $h_1$ и $h_2$.

Нарисуем расстояние от центра круга до стороны треугольника, пусть это будет $h$.

$$\begin{array}{cccccccccccccccccccccccccccccc}& & A& & & & & B& & & & & & C& & & & & & H& & & & & & & & & & \\ & & & & & \uparrow & H_1& \uparrow & & & & & \uparrow & H& \uparrow & & & \\ & & & & & |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |& |\\ & & & & a& & \frac{a}{2}& & a& & & & \frac{a}{2}& & a& & & \frac{a}{2}& & r& & \frac{a}{2}& & & \frac{a}{2}& & a& & \frac{a}{2}& & a& & & & \frac{a}{2}& \end{array}$$

Теперь мы можем применить теорему Пифагора для выделенных рисунком прямоугольных треугольников. Для треугольников ABH и BCH мы можем записать следующие уравнения:

$$A{H}_1^2=A{B}^2-B{H}_1^2\text{(1)}$$
$$B{H}^2=B{C}^2-C{H}^2\text{(2)}$$

Так как треугольник равносторонний, $AB=BC=a$, поэтому уравнения (1) и (2) могут быть переписаны следующим образом:

$$A{H}_1^2=a^2-{(\frac{a}{2}-r)}^2\text{(3)}$$
$$B{H}^2=a^2-r^2\text{(4)}$$

Так как $A{H}_1=BH$, мы можем приравнять уравнения (3) и (4) и решить их относительно неизвестных. Получаем:

$$a^2-{(\frac{a}{2}-r)}^2=a^2-r^2$$

Упрощая уравнение, мы получаем:

$${(\frac{a}{2}-r)}^2=r^2$$

Раскрывая скобки и упрощая, получаем:

$$\frac{a^2}{4}-ar+r^2=r^2$$

Отсюда можно увидеть, что $ar=\frac{a^2}{4}$, и решить это уравнение относительно радиуса $r$:

$$r=\frac{a}{4}$$

Таким образом, длина радиуса вписанного в правильный равносторонний треугольник круга равна четверти длины стороны треугольника. Возвращаясь к исходной задаче, если сторона треугольника равна $a$, то длина радиуса будет равна $\frac{a}{4}$.

Надеюсь, этот пошаговый разбор помог вам понять, как получить ответ на эту задачу! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать их.