Яка довжина катету, протилежного до даного гострого кута, у прямокутному трикутнику, якщо гіпотенуза має довжину

При решении данной задачи по геометрии нам нужно найти длину катета прямоугольного треугольника, противоположного данным острым углу, при известной длине гипотенузы и величине острого угла. Давайте переформулируем задание для более ясного понимания:

"В прямоугольном треугольнике с гипотенузой длиной 9 см и острым углом 20 градусов, необходимо найти длину катета, противоположного данному углу."

Итак, у нас есть прямоугольный треугольник, в котором один из углов составляет 20 градусов, а гипотенуза имеет длину 9 см. Задача состоит в нахождении длины катета, противоположного данному углу.

Для решения этой задачи мы можем использовать тригонометрическую функцию тангенса (тан). В данном случае, тангенс угла представляет отношение противоположного катета к прилежащему катету:

\[\tan(\theta) = \frac{{противоположный\ катет}}{{прилежащий\ катет}}\]

где \(\theta\) - острый угол.

Мы знаем, что тангенс 20 градусов равен отношению противоположного катета к прилежащему:

\[\tan(20) = \frac{{противоположный\ катет}}{{прилежащий\ катет}}\]

Теперь, чтобы найти противоположный катет, нам нужно умножить прилежащий катет на тангенс 20 градусов:

\[\text{{Противоположный катет}} = \text{{Прилежащий катет}} \times \tan(20)\]

Однако, у нас есть только длина гипотенузы, а не прилежащего катета. Чтобы найти прилежащий катет, мы можем использовать теорему Пифагора, которая устанавливает соотношение между длинами сторон прямоугольного треугольника:

\[a^2 + b^2 = c^2\]

где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза.

В нашем случае, длина гипотенузы \(c\) равна 9 см. Подставляя значения в формулу Пифагора, мы получаем:

\(a^2 + b^2 = 9^2\)

Давайте разрешим эту формулу относительно прилежащего катета \(a\):

\(a^2 = 9^2 - b^2\)

\(a = \sqrt{9^2 - b^2}\)

Теперь мы имеем формулу для нахождения прилежащего катета, которую мы можем использовать в нашем исходном уравнении:

\[\text{{Противоположный катет}} = \sqrt{9^2 - b^2} \times \tan(20)\]

Таким образом, для решения задачи, нам нужно подставить значения в эту формулу.