Яка довжина гіпотенузи прямокутного трикутника, якщо один катет має довжину 12 см, а медіана, проведена до іншого

Для решения этой задачи, нам потребуется использовать теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов. Давайте обозначим длину гипотенузы как \(c\), длину одного катета как \(a\) (это у нас 12 см), и длину медианы, проведенной к другому катету, как \(m\).

Известно, что медиана, проведенная к катету, равна половине длины гипотенузы. То есть, \(m = \frac{c}{2}\).

Теперь мы можем применить теорему Пифагора:

\[c^2 = a^2 + m^2\]

Подставим вместо \(m\) выражение \(\frac{c}{2}\):

\[c^2 = a^2 + \left(\frac{c}{2}\right)^2\]

Раскроем скобки:

\[c^2 = a^2 + \frac{c^2}{4}\]

Умножим обе части уравнения на 4, чтобы избавиться от дроби:

\[4c^2 = 4a^2 + c^2\]

Теперь сгруппируем члены с \(c^2\) в одну часть уравнения:

\[4c^2 - c^2 = 4a^2\]

\[3c^2 = 4a^2\]

Разделим обе части уравнения на 3:

\[c^2 = \frac{4a^2}{3}\]

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[c = \sqrt{\frac{4a^2}{3}}\]

Упростим:

\[c = \frac{2a}{\sqrt{3}}\]

Теперь можем подставить значение \(a = 12\) см и вычислить значение гипотенузы \(c\):

\[c = \frac{2\cdot 12}{\sqrt{3}}\]

\[c = \frac{24}{\sqrt{3}}\]

Чтобы добавить численное значение, давайте округлим его до двух десятичных знаков:

\[c \approx 13.86\]

Таким образом, длина гипотенузы прямоугольного треугольника составляет примерно 13.86 см.