Яка довжина діагоналі прямокутника, якщо менша сторона його має 4.5 см і утворює з діагоналлю кут 60 градусів?

Чтобы найти длину диагонали прямоугольника, нам нужно знать его стороны и углы.

Имея меньшую сторону прямоугольника, равную 4.5 см, и зная, что она образует угол 60 градусов с диагональю, мы можем воспользоваться тригонометрией, а именно, теоремой косинусов.

Согласно теореме косинусов, квадрат диагонали равен сумме квадратов двух сторон прямоугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Обозначим длину диагонали как \(d\), а меньшую сторону как \(a\). Угол между \(d\) и \(a\) равен 60 градусов.

Тогда мы можем записать теорему косинусов следующим образом:

\[d^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(60^\circ)\]

Упростив это выражение, получим:

\[d^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \cos(60^\circ)\]

Теперь осталось вставить известные значения:

\[d^2 = 2 \cdot (4.5 \, \text{см})^2 - 2 \cdot (4.5 \, \text{см})^2 \cdot \cos(60^\circ)\]

Выполнив арифметические вычисления, получим:

\[d^2 = 2 \cdot 20.25 \, \text{см}^2 - 2 \cdot 20.25 \, \text{см}^2 \cdot \frac{1}{2}\]

\[d^2 = 40.5 \, \text{см}^2 - 20.25 \, \text{см}^2\]

\[d^2 = 20.25 \, \text{см}^2\]

Теперь возьмем квадратный корень из обеих сторон, чтобы найти длину диагонали:

\[d = \sqrt{20.25 \, \text{см}^2}\]

Вычислением квадратного корня, получим:

\[d \approx 4.5 \, \text{см}\]

Таким образом, длина диагонали прямоугольника составляет примерно 4.5 см.