Можно выполнить следующую задачу: а) Запишите диапазон значений данной функции. б) Найдите область определения функции

Конечно, давайте решим данную задачу по шагам:

а) Для начала запишем данную функцию. Пусть у нас дана функция \(f(x)\), тогда она может быть записана следующим образом:
\[f(x) = \frac{{x^2 - 4}}{{x + 2}}\]

Теперь рассмотрим диапазон значений. Для этого возьмем во внимание некоторые свойства данной функции. Заметим, что числитель \(x^2 - 4\) представляет собой разность квадрата переменной и числа 4. Это можно переписать в следующем виде: \(x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)\). Деление на \(x + 2\) в знаменателе не представляет проблемы, так как наша функция не определена при \(x = -2\).

Теперь рассмотрим знак числителя \((x - 2)(x + 2)\) в зависимости от значения переменной \(x\). По смыслу, знак выражения \((x - 2)(x + 2)\) будет меняться, когда один из множителей становится равен нулю. Это происходит при \(x = 2\) и \(x = -2\). Получается, что на интервалах \(-\infty < x < -2\) и \(-2 < x < 2\) функция \(f(x)\) будет иметь один и тот же знак, а на интервалах \(-2 < x < 2\) и \(2 < x < +\infty\) функция будет иметь другой знак.

б) Область определения функции определяет, на каких значениях аргумента функция определена и имеет смысл. Мы уже установили, что функция не определена при \(x = -2\) (так как в знаменателе стоит \((x + 2)\)). Таким образом, область определения функции будет следующей: \(-\infty < x < -2\) и \(-2 < x < +\infty\).

в) Интервалы, на которых функция не меняет знак, мы уже определили на шаге а). Получается, что функция \(f(x)\) не меняет знак на интервалах \(-\infty < x < -2\) и \(2 < x < +\infty\).

г) Чтобы найти точки, в которых функция достигает экстремума, нужно найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. Давайте найдем производную функции \(f"(x)\):

\[f"(x) = \frac{{(2x + 4)(x + 2) - (x^2 - 4)}}{{(x + 2)^2}}\]

Уравнение \(f"(x) = 0\) даст нам точки, где производная равна нулю. Если мы решим это уравнение, получим:

\[\frac{{(2x + 4)(x + 2) - (x^2 - 4)}}{{(x + 2)^2}} = 0\]

После упрощения получим:

\[(2x + 4)(x + 2) - (x^2 - 4) = 0\]

Чтобы решить это уравнение, раскроем скобки и упростим:

\[2x^2 + 8x + 8 - x^2 + 4 = 0\]

\[\Rightarrow x^2 + 8x + 12 = 0\]

Для решения этого квадратного уравнения мы можем воспользоваться формулой дискриминанта или раскладыванием на множители. В данном случае, мы можем раскладывать на множители:

\[(x + 2)(x + 6) = 0\]

Фактор \(x + 2\) обращается в ноль при \(x = -2\) и фактор \(x + 6\) обращается в ноль при \(x = -6\). Поэтому, точки экстремума функции \(f(x)\) равны \(x = -2\) и \(x = -6\).

д) Функция \(f(x)\) является четной, если для любого \(x\) выполняется равенство \(f(x) = f(-x)\). Давайте проверим это, заменив \(x\) на \(-x\) в нашей функции:

\[f(-x) = \frac{{(-x)^2 - 4}}{{-x + 2}} = \frac{{x^2 - 4}}{{2 - x}} = f(x)\]

Мы видим, что \(f(-x) = f(x)\), поэтому функция \(f(x)\) является четной функцией.

Вот и всё! Мы подробно рассмотрели данную задачу и ответили на все ее пункты. Если у вас есть еще вопросы, пожалуйста, задавайте!