Яка довжина діагоналі основи правильної чотирикутної піраміди, яка має таку саму довжину, як її бічне ребро

Чтобы найти длину диагонали основания правильной четырехугольной пирамиды, у которой боковое ребро равно 6 см, нужно воспользоваться теоремой Пифагора для треугольника.

Предположим, что основание пирамиды является квадратом. Так как пирамида правильная, то сторона квадрата будет равна длине бокового ребра, т.е. 6 см.

Пусть диагональ основания равна \(d\). Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике с гипотенузой \(d\), одной катетой 6 см и другой катетой \(a\) (сторона квадрата), справедливо следующее соотношение:

\[d^2 = 6^2 + a^2\]

Мы знаем, что \(a\) равно 6 см, поэтому можно записать:

\[d^2 = 6^2 + 6^2\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[d^2 = 36 + 36\]
\[d^2 = 72\]

Таким образом, длина диагонали основания пирамиды \(d\) равна \(\sqrt{72}\) см, что примерно равно 8.49 см (округлим до двух десятичных знаков).

Теперь рассмотрим вторую часть задачи - вычисление объема правильной четырехугольной пирамиды.

Объем пирамиды можно найти, используя формулу:

\[V = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h\]

У правильной четырехугольной пирамиды основание - это квадрат. Площадь квадрата можно найти, зная длину стороны \(a\), по формуле:

\[S_{основания} = a^2\]

Мы уже знаем, что \(a\) равно 6 см, поэтому:

\[S_{основания} = 6^2 = 36 \, см^2\]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды \(h\). Так как пирамида правильная, то высота будет проходить через вершину пирамиды и перпендикулярна к основанию. Боковое ребро пирамиды является высотой треугольника, образованного боковой гранью пирамиды.

Таким образом, высота пирамиды будет равна длине бокового ребра, то есть 6 см.

Теперь, зная площадь основания и высоту, мы можем найти объем пирамиды:

\[V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 6\]
\[V = \frac{1}{3} \cdot 216\]
\[V = 72 \, см^3\]

Таким образом, объем данной пирамиды составляет 72 кубических сантиметра.