Яка довжина більшої діагоналі паралелограма, якщо його сторони дорівнюють 7√3 см і 1 см, а один з його кутів - 30°?

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания о параллелограммах, а также о тригонометрических функциях.

Первым шагом вызначимо величину второго угла паралелограма. Для этого воспользуемся известным свойством паралелограмма: сумма мер противолежащих углов равна 180 градусов. Так как один из углов задан и равен 30 градусам, то сумма мер двух противолежащих углов будет равна 180 - 30 = 150 градусов.

Когда мы знаем меру одного противолежащего угла, можем воспользоваться свойством параллелограмма, которое гласит, что противолежащие стороны параллелограма равны и равны диагоналям параллелограма. Таким образом, сторона длиной 7√3 см будет равна меньшей диагонали параллелограма, а сторона длиной 1 см будет равна большей диагонали параллелограма.

Чтобы найти длину большей диагонали параллелограма, воспользуемся теоремой косинусов.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos{C}\]

Где c - длина третьей стороны треугольника, a и b - длины двух других сторон, C -мера угла, противолежащего третьей стороне.

В нашем случае, сторона а равна 1 см, сторона b равна 7√3 см, и угол C равен 150 градусам. Подставим эти значения в формулу и решим её:

\[c^2 = (7\sqrt{3})^2 + 1^2 - 2 \cdot 7\sqrt{3} \cdot 1 \cdot \cos{150^\circ}\]

\[c^2 = 147 + 1 - 14\sqrt{3} \cdot \cos{150^\circ}\]

Теперь нам понадобится значение косинуса 150 градусов. Для этого вспомним определение тригонометрических функций на основе правильного треугольника. В правильном треугольнике со сторонами длиной 1, 1 и 2, косинус 150 градусов равен -1/2.

\[c^2 = 147 + 1 - 14\sqrt{3} \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\]

\[c^2 = 147 + 1 + 7\sqrt{3}\]

\[c^2 = 148 + 7\sqrt{3}\]

Теперь найдем значение \(c\) путем извлечения квадратного корня:

\[c = \sqrt{148 + 7\sqrt{3}}\]

Таким образом, длина большей диагонали параллелограма составляет \(\sqrt{148 + 7\sqrt{3}}\) см.