Какая высота у конуса, если плоскость, параллельная основанию, делит образующую в отношении 1:3, начиная от вершины?

Для решения этой задачи, давайте введем следующие обозначения:

\(h\) - высота конуса
\(r\) - радиус основания конуса
\(L\) - образующая конуса

По условию задачи, плоскость, параллельная основанию, делит образующую в отношении 1:3. Это означает, что расстояние от вершины конуса до этой плоскости составляет 1/4 от образующей конуса, а расстояние от этой плоскости до основания составляет 3/4 от образующей.

Используя подобие треугольников и отношение высоты к образующей, мы можем установить следующее соотношение:

\(\frac{h}{L} = \frac{1}{4}\)

Теперь давайте найдем радиус основания \(r\) с использованием площади сечения плоскостью, которая равна 3π. Площадь сечения конуса можно выразить через площадь основания и площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{сечения}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой поверхности}}\)

Поскольку плоскость делит образующую в отношении 1:3, мы можем выразить площадь боковой поверхности через радиус и образующую:

\(S_{\text{боковой поверхности}} = \pi r L\)

Зная, что площадь сечения равна 3π, мы можем записать следующее уравнение:

\(3\pi = \pi r^2 + \pi r L\)

Теперь давайте найдем объем конуса. Объем конуса может быть найден с использованием формулы:

\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)

Давайте решим эти уравнения по порядку.

1) Найдем высоту конуса \(h\):
Из соотношения \(\frac{h}{L} = \frac{1}{4}\) получаем, что \(h = \frac{L}{4}\)

2) Найдем радиус основания \(r\):
Подставим \(h = \frac{L}{4}\) в уравнение для площади сечения:
\(3\pi = \pi r^2 + \pi r \cdot L\)
\(3 = r^2 + r \cdot \frac{L}{4}\)
\(r^2 + \frac{L}{4} \cdot r - 3 = 0\)

Это квадратное уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a = 1\), \(b = \frac{L}{4}\), \(c = -3\).
Решим его с помощью квадратного корня.
\(r = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
\(r = \frac{-\frac{L}{4} \pm \sqrt{\left(\frac{L}{4}\right)^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)}\)

3) Найдем объем конуса \(V\):
Используя найденное значение для \(h\), подставим \(r\) и \(h\) в формулу объема конуса:
\(V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\)

Данный подробный подход позволяет школьнику понять каждый шаг решения задачи, а также обосновать ответы и пояснить логику решения.