Свидетельствуйте, что для каждого угла α в интервале 0º < α < 90º выполняются следующие равенства: sin α = 2 sin

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся формулами половинного угла и формулами двойного угла.

Первое равенство: sin α = 2 sin(α/2) * cos(α/2)

Доказательство:

По формулам половинного угла, мы знаем, что sin(α/2) = ±sqrt((1 - cos α) / 2) и cos(α/2) = ±sqrt((1 + cos α) / 2). Однако, так как угол α находится в интервале 0º < α < 90º, то sin(α/2) и cos(α/2) будут положительными.

Тогда подставим эти значения в левую часть равенства:

sin α = 2 * (sin(α/2) * cos(α/2))

sin α = 2 * (sqrt((1 - cos α) / 2) * sqrt((1 + cos α) / 2))

sin α = 2 * sqrt((1 - cos α) * (1 + cos α)/4)

sin α = sqrt((1 - cos α) * (1 + cos α)/2)

sin α = sqrt((1 - cos^2 α)/2)

sin α = sqrt((sin^2 α)/2) (так как sin^2 α + cos^2 α = 1)

sin α = (1/2) * sqrt(sin^2 α)

sin α = (1/2) * |sin α|

Так как в интервале 0º < α < 90º, то sin α будет положительным, поэтому можно убрать модуль:

sin α = 2 * sin(α/2) * cos(α/2)

Доказательство первого равенства завершено.

Второе равенство: cos α = 2 * cos^2 (α/2)

Доказательство:

По формулам двойного угла, мы знаем, что cos α = 2 * cos^2 (α/2) - 1.

Тогда подставим эти значения в левую часть равенства:

cos α = 2 * cos^2 (α/2) - 1

cos α + 1 = 2 * cos^2 (α/2)

2 * cos^2 (α/2) = cos α + 1

Теперь применим формулу cos^2 (α/2) = (1 + cos α)/2:

(1 + cos α)/2 = cos α + 1

1 + cos α = 2 * (cos α + 1)

1 + cos α = 2cos α + 2

cos α - 2cos α = 2 - 1

-cos α = 1

cos α = -1

Так как в интервале 0º < α < 90º, cos α не может быть равным -1, поэтому это равенство не выполняется.

Окончательно, для каждого угла α в интервале 0º < α < 90º, выполняется только первое равенство: sin α = 2 sin α/2 * cos α/2.