Яка довжина апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи

Question

Математика: Яка довжина апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а та бічна грань нахилена під кутом в до площини основи?

Leonid · Accepted Answer

Дано: сторона основи чотирикутної піраміди \(a\), кут нахилу бічної грані до площини основи \(d\).

Для знаходження довжини апофеми правильної чотирикутної піраміди скористаємося тригонометричними співвідношеннями. Апофема (проведена із вершини піраміди до середини сторони основи) може бути знайдена за допомогою побудови прямокутного трикутника, що складається з напівсторони основи піраміди \(a/2\), апофеми \(c\) та висоти бічної грані піраміди \(h\).

За теоремою Піфагора для цього трикутника отримаємо:
\[c^2 = h^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2.\]

Оскільки спрямовані на один ребро бічна грань піраміди і апофема утворюють прямий кут, то можна написати:
\[\tan{d} = \dfrac{h}{\frac{a}{2}}.\]

Так як \(c = h/\cos{d}\), підставимо вираз для \(h\) з другого рівняння у перше, тоді отримаємо:
\[c^2 = \left(\dfrac{\dfrac{a}{2}}{\tan{d}}\right)^2 + \left(\dfrac{a}{2}\right)^2.\]

Спростимо вираз:
\[c = \dfrac{a}{2\sqrt{\tan^2{d} + 1}}.\]

Отже, довжина апофеми правильної чотирикутної піраміди становить:
\[c = \dfrac{a}{2\sqrt{\tan^2{d} + 1}}.\]

Яка довжина апофеми правильної чотирикутної піраміди, якщо сторона основи дорівнює а та бічна грань нахилена під кутом

Leonid

О проекте

Предметы

Задать вопрос

Привет!