1. Яку висоту має цей циліндр, якщо його об єм дорівнює 45π кубічних сантиметрів, а діаметр основи становить

1. Щоб визначити висоту циліндра, нам необхідно використати формулу об"єму циліндра. Об"єм циліндра визначається формулою \(V = \pi r^2 h\), де \(\pi\) - це число Пі, \(r\) - радіус основи циліндра, а \(h\) - його висота.

У даній задачі відомо, що об"єм циліндра дорівнює 45π кубічних сантиметрів, а діаметр основи становить 6 сантиметрів. Радіус основи можна виразити як \(r = \frac{d}{2}\), де \(d\) - діаметр. Тому в нашому випадку радіус основи буде дорівнювати \(r = \frac{6}{2} = 3\) сантиметри.

Підставимо відомі значення в формулу об"єму циліндра: \(45\pi = \pi \cdot 3^2 \cdot h\). Скоротимо спільний множник \(\pi\): \(45 = 9h\). Поділимо обидві частини на 9, щоб визначити висоту \(h\): \(h = \frac{45}{9} = 5\) сантиметрів.

Отже, цей циліндр має висоту 5 сантиметрів.

2. Щоб знайти площу повної поверхні конуса, нам знадобиться використати формулу площі повної поверхні конуса. Площа повної поверхні конуса визначається формулою \(S = \pi r(r + l)\), де \(S\) - площа повної поверхні, \(r\) - радіус основи, а \(l\) - твірна конуса.

У даній задачі відомо, що відношення висоти до діаметра конуса становить 2:3, а твірна конуса дорівнює 10 сантиметрам. Радіус основи можна виразити як \(r = \frac{d}{2}\), де \(d\) - діаметр. Враховуючи відношення, ми можемо записати \(h = \frac{2}{3}d\), де \(h\) - висота, а \(d\) - діаметр. Також, враховуючи те, що твірна конуса \(l\) дорівнює 10 сантиметрам, ми отримаємо рівняння \(h^2 + r^2 = l^2\).

Замінимо \(h\) виразом \(\frac{2}{3}d\) та \(r\) виразом \(\frac{d}{2}\) у рівнянні \(h^2 + r^2 = l^2\): \(\left(\frac{2}{3}d\right)^2 + \left(\frac{d}{2}\right)^2 = 10^2\). Проведемо обчислення: \(\frac{4}{9}d^2 + \frac{1}{4}d^2 = 100\). Складемо спільний знаменник за допомогою множення: \(\frac{16d^2}{36} + \frac{9d^2}{36} = 100\). Додамо дроби: \(\frac{25d^2}{36} = 100\). Перемножимо обидві частини рівняння на \(\frac{36}{25}\), щоб виразити \(d^2\): \(d^2 = \frac{100 \cdot 36}{25}\). Обчислимо: \(d^2 = \frac{3600}{25}\). Скоротимо дріб: \(d^2 = 144\). Взявши квадратний корінь з обох сторін рівняння, ми отримаємо \(d = \sqrt{144}\). Обчислимо: \(d = 12\) сантиметрів.

Тепер, коли маємо значення діаметра, можемо обчислити радіус основи: \(r = \frac{d}{2} = \frac{12}{2} = 6\) сантиметрів.

Підставимо відомі значення в формулу площі повної поверхні конуса: \(S = \pi \cdot 6(6 + 10)\). Обчислимо: \(S = \pi \cdot 6(16) = 96\pi\).

Отже, площа повної поверхні цього конуса дорівнює \(96\pi\) квадратних сантиметрів.

Я сподіваюся, що ці пояснення допомогли вам зрозуміти розв"язання задач! Відчувайте себе впевнено і успішно у вивченні математики!