Яка буде сума перших вісімнадцяти членів арифметичної прогресії (an), якщо сьомий член цієї прогресії a7 = 28, а перший

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать формулу для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов прогрессии,
\(a_1\) - первый член прогрессии,
\(a_n\) - \(n\)-ый член прогрессии.

У нас уже дано значение седьмого члена \(a_7 = 28\), поэтому нам осталось найти первый член \(a_1\).

Чтобы найти первый член \(a_1\), мы можем использовать формулу для нахождения члена арифметической прогрессии:

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

где \(d\) - разность между членами прогрессии.

Мы знаем, что седьмой член прогрессии равен 28, а также то, что это является арифметической прогрессией. Выражая \(a_1\) через \(a_7\) и \(d\), мы можем решить уравнение:

\[a_7 = a_1 + (7 - 1)d\]

Подставляем данное значение \(a_7 = 28\) и упрощаем:

\[28 = a_1 + 6d\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[a_1 = a_1\]
\[28 = a_1 + 6d\]

Поскольку нам не известна разность \(d\), мы не можем найти значение для \(a_1\) напрямую. Однако, мы можем вспомнить, что сумма первых 18 членов прогрессии дана в задаче.

Возвращаемся к формуле для суммы членов прогрессии и подставляем уже известные значения:

\[S_{18} = \frac{18}{2}(a_1 + a_{18})\]

Нам известна сумма и первый член \(a_1 = 0\), поэтому уравнение принимает вид:

\[S_{18} = 9(0 + a_{18})\]

Теперь нам осталось найти \(a_{18}\). Мы можем использовать формулу для \(a_n\):

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

Подставляем уже известные значения:

\[a_{18} = a_1 + (18 - 1)d\]

Используя полученное уравнение, мы можем выразить \(a_{18}\) через \(a_1\):

\[a_{18} = a_1 + 17d\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[S_{18} = 9(0 + a_{18})\]
\[a_{18} = a_1 + 17d\]

Подставлем второе уравнение в первое:

\[S_{18} = 9(0 + (a_1 + 17d))\]

Упрощая, получаем:

\[S_{18} = 9(a_1 + 17d)\]

Теперь мы можем решить уравнение для суммы \(S_{18}\):

\[S_{18} = \frac{18}{2}(a_1 + a_{18})\]

Подставляем полученное выражение для \(S_{18}\):

\[9(a_1 + 17d) = \frac{18}{2}(a_1 + (a_1 + 17d))\]

Объединяем подобные члены:

\[9(a_1 + 17d) = 9(a_1 + a_1 + 17d)\]

Далее раскрываем скобки:

\[9a_1 + 153d = 18a_1 + 153d\]

Вычитаем \(153d\) с обеих сторон уравнения:

\[9a_1 = 18a_1\]

Теперь делим обе части уравнения на \(9\):

\[a_1 = 0\]

Мы нашли значение первого члена прогрессии \(a_1 = 0\). Теперь, чтобы найти сумму первых 18 членов прогрессии \(S_{18}\), мы можем использовать формулу для суммы членов прогрессии:

\[S_{18} = \frac{18}{2}(0 + a_{18})\]

Подставляем значение \(a_1 = 0\) и уравнение упрощается до:

\[S_{18} = 9a_{18}\]

Теперь нам нужно найти только значение \(a_{18}\). Мы можем использовать формулу для \(a_n\):

\[a_n = a_1 + (n - 1)d\]

Подставляем уже известные значения:

\[a_{18} = a_1 + (18 - 1)d\]

Упрощаем:

\[a_{18} = a_1 + 17d\]

Подставляем значение \(a_1 = 0\) и у нас остаётся:

\[a_{18} = 17d\]

Теперь мы можем подставить это значение \(a_{18}\) в наше выражение для \(S_{18}\):

\[S_{18} = 9 \cdot 17d\]

Вычисляем:

\[S_{18} = 153d\]

Мы получили, что сумма первых восемнадцати членов арифметической прогрессии равна \(153d\), где \(d\) - это разность между членами прогрессии.