Яка буде швидкість куль після абсолютно непружного зіткнення, якщо дві кулі масами 6 кг і 4 кг, що рухаються назустріч

Для решения данной задачи о наступлении абсолютно непружного столкновения двух тел, можно использовать законы сохранения импульса и закон сохранения энергии.

1. Закон сохранения импульса:
В начальный момент времени (до столкновения) импульс каждой из куль равен произведению её массы на её скорость:
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = m_1 \cdot v_1" + m_2 \cdot v_2"\)
где \(m_1\) и \(m_2\) - массы куль, \(v_1\) и \(v_2\) - их начальные скорости, \(v_1"\) и \(v_2"\) - их конечные скорости после столкновения.

2. Закон сохранения энергии:
Энергия системы до и после столкновения должна оставаться постоянной. Сумма кинетической энергии каждой кули в начальный момент времени равна сумме кинетической энергии каждой кули после столкновения:
\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 v_1"^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2"^2\)

Теперь решим систему полученных уравнений:

Из закона сохранения импульса получим выражение для непосредственного решения вопроса о конечной скорости (\(v_1"\)) первой кули после столкновения:
\(m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_1"\)

Теперь найдём выражение для \(v_1"\) из уравнения сохранения энергии. Заменим \(v_1\) в уравнении на выражение, полученное из закона сохранения импульса:
\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v_1")^2\)

Подставим выражение для \(v_1\) из закона сохранения импульса:
\(\frac{1}{2} m_1 (v_1"^2 - 2 v_1" v_1 + v_1^2) + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v_1")^2\)

Раскроем скобки:
\(\frac{1}{2} m_1 v_1"^2 - m_1 v_1" v_1 + \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1")^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_1")^2\)

Сократим одинаковые слагаемые:
\(- m_1 v_1" v_1 + \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 (v_1")^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_1")^2\)

Перегруппируем слагаемые:
\(- m_1 v_1" v_1 = \frac{1}{2} m_1 (v_1")^2 - \frac{1}{2} m_1 v_1^2 - \frac{1}{2} m_2 v_2^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_1")^2\)

Вынесем общий множитель \(v_1"\) за скобки:
\(- m_1 v_1" v_1 = \frac{1}{2} m_1 (v_1")^2 - \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 (v_1")^2 - \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)

Упростим выражение:
\(- m_1 v_1" v_1 = \frac{1}{2} m_1 ((v_1")^2 - v_1^2) + \frac{1}{2} m_2 ((v_1")^2 - v_2^2)\)

Вынесем общий множитель \((v_1")^2 - v_1^2\) за скобки:
\(- m_1 v_1" v_1 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) ((v_1")^2 - v_1^2) - \frac{1}{2} m_2 (v_2^2 - (v_1")^2)\)

Получили следующее выражение для \(v_1"\) после преобразований:
\(m_1 v_1" v_1 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) ((v_1")^2 - v_1^2) - \frac{1}{2} m_2 (v_2^2 - (v_1")^2)\)

Теперь решим полученное квадратное уравнение для \(v_1"\):
\(m_1 v_1" v_1 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) ((v_1")^2 - v_1^2) + \frac{1}{2} m_2 (v_2^2 - (v_1")^2) = 0\)

Раскроем скобки:
\((m_1 v_1")^2 - m_1 v_1 v_1" + \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v_1")^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 - \frac{1}{2} m_2 (v_1")^2 = 0\)

Проведём необходимые преобразования:
\((m_1 v_1")^2 + \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v_1")^2 - \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = m_1 v_1 v_1"\)

Сгруппируем слагаемые:
\((m_1 v_1")^2 + \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v_1")^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_1^2 - \frac{1}{2} m_2 v_2^2\)

Вынесем общий множитель \((v_1")^2 + \frac{1}{2} (m_1 + m_2)\) за скобку:
\((m_1 v_1")^2 = \left( \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_1^2 - \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \right) \div \left(1 + \frac{1}{2} (m_1 + m_2) \right)\)

Подставим значения переменных:
\((6 \cdot 8)^2 = \frac{1}{2} (6 + 4) \cdot 8^2 - \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 3^2 \)

Вычислим числитель и знаменатель:
\( 288 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 12 \)

Далее решаем полученное уравнение:
\( \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 64 - \frac{1}{2} \cdot 12 = 288\)

Упростим уравнение:
\(=\frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 64 - 6 = 288\)

Выполним действия внутри скобок:
\(=\frac{1}{2} \cdot 640 - 6 = 288\)

Вычислим значение в скобках:
\(=320 - 6 = 288\)

Вычислим значение выражения:
\(=314 \neq 288\)

Ошибка в решении на этапе получения уравнения, для \(v_1"\). Найдем ошибку.

Ошибка кроется в проведенных ранее преобразованиях уравнения сохранения энергии. Допущена ошибка при раскрытии скобок в 5-ом шаге. При раскрытии скобок в \( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 \) мы получим \( \frac{1}{2} m_1 v_1"^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2"^2 \), в котором содержатся неизвестные скорости \( v_1" \) и \( v_2" \), а не известные скорости \( v_1 \) и \( v_2 \). Данная ошибка приводит к неправильному уравнению и затрудняет решение задачи.

Таким образом, для получения правильного решения данной задачи необходимо провести исправление ошибки и получить правильное уравнение, в котором учтены начальные скорости куль и искомая конечная скорость \( v_1" \).

Попробуем исправить ошибку.

Закон сохранения импульса:
\( m_1 \cdot v_1 + m_2 \cdot v_2 = (m_1 + m_2) \cdot v_1" \)

Закон сохранения энергии:
\( \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) (v_1")^2 \)

Подставим значения переменных:
\( 6 \cdot 8 + 4 \cdot 3 = (6 + 4) \cdot v_1" \)

Вычислим числитель и знаменатель:
\( 48 + 12 = 10 \cdot v_1" \)

Сложим значения:
\( 60 = 10 \cdot v_1" \)

Рассчитаем значение \( v_1" \):
\( v_1" = \frac{60}{10} = 6 \, \text{м/с} \)

Таким образом, конечная скорость \( v_1" \) первой кули после абсолютно непружного столкновения будет равна 6 м/с.