Як знайти точку d (x; y; 0), яка знаходиться на однаковій відстані від трьох заданих точок: а (0; 1; -1), b (-1

Щоб знайти точку \(d\) яка знаходиться на однаковій відстані від трьох заданих точок \(a\), \(b\) і \(c\), нам потрібно використати середні відстані між цими точками.

Спочатку ми розрахуємо середню відстань між точками \(a\) і \(b\):
\[
d_{ab} = \frac{{\sqrt{{(x_b - x_a)^2 + (y_b - y_a)^2 + (z_b - z_a)^2}}}}{2}
\]

Де \(x_a\), \(y_a\), \(z_a\), \(x_b\), \(y_b\), \(z_b\) - це координати точок \(a\) і \(b\) відповідно.

Аналогічно, ми можемо розрахувати середні відстані між точками \(a\) і \(c\) (\(d_{ac}\)) і між точками \(b\) і \(c\) (\(d_{bc}\)).

Отже, ми маємо три рівняння:
\[
\begin{align*}
d_{ab} &= \sqrt{{(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (0 - (-1))^2}}/2 \\
d_{ac} &= \sqrt{{(x - 0)^2 + (y - 1)^2 + (0 - (-1))^2}}/2 \\
d_{bc} &= \sqrt{{(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 + (0 - 1)^2}}/2 \\
\end{align*}
\]

Після спрощення отримаємо:
\[
\begin{align*}
d_{ab} &= \sqrt{{x^2 + (y - 1)^2 + 1}}/2 \\
d_{ac} &= \sqrt{{x^2 + (y - 1)^2 + 1}}/2 \\
d_{bc} &= \sqrt{{(x + 1)^2 + y^2 + 1}}/2 \\
\end{align*}
\]

Так як точка \(d\) має бути на однаковій відстані від трьох точок, значення середніх відстаней між точками має бути однаковим, тобто:
\[
d_{ab} = d_{ac} = d_{bc}
\]

Ми можемо об"єднати ці рівняння і отримати:
\[
\sqrt{{x^2 + (y - 1)^2 + 1}} = \sqrt{{x^2 + (y - 1)^2 + 1}} = \sqrt{{(x + 1)^2 + y^2 + 1}}
\]

Для спрощення рівняння, ми можемо піднести обидві частини до квадрату:
\[
x^2 + (y - 1)^2 + 1 = x^2 + (y - 1)^2 + 1 = (x + 1)^2 + y^2 + 1
\]

Після спрощення, отримаємо:
\[
y^2 - 2y + 1 = 1 + 2x
\]

Далі, можемо використати це рівняння, щоб виразити \(x\) через \(y\):
\[
x = \frac{{y^2 - 2y}}{2}
\]

Таким чином, результатом буде вектор \(d\) з координатами \((x, y, 0)\), де \(x = \frac{{y^2 - 2y}}{2}\) та \(y\) може приймати будь-яку дійсну величину.