Як знайти суму всіх цілих розв язків нерівності (x^2-7x+10)(x-9)^2

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Первым шагом мы должны найти все целые решения неравенства \((x^2-7x+10)(x-9)^2 < 0\). Для этого нам нужно найти значения \(x\), при которых выражение \((x^2-7x+10)\) и \((x-9)^2\) имеют разные знаки.

Давайте начнем с факторизации. Мы можем факторизовать \(x^2-7x+10\) следующим образом: \((x-2)(x-5)\). И факторизовать \((x-9)^2\) мы можем так: \((x-9)(x-9)\).

Теперь, чтобы понять знаки этих выражений, нам нужно исследовать интервалы, где они принимают положительные и отрицательные значения. Для этого рассмотрим каждый из множителей по отдельности.

Посмотрим на первый множитель \((x-2)(x-5)\). Заметим, что когда \(x < 2\), оба множителя будут отрицательными. Когда \(2 < x < 5\), первый множитель будет положительным, а второй - отрицательным. И когда \(x > 5\), оба множителя будут положительными.

Теперь рассмотрим второй множитель \((x-9)(x-9)\). Заметим, что он всегда будет положительным, так как квадрат любого числа является положительным.

Теперь мы можем составить таблицу, чтобы лучше понять знаки произведения этих множителей:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
x & (x-2)(x-5) & (x-9)(x-9) & \text{Знак произведения} \\
\hline
x < 2 & - & + & - \\
\hline
2 < x < 5 & + & + & + \\
\hline
x > 5 & + & + & + \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь давайте посмотрим, где произведение этих множителей отрицательно. Из таблицы видно, что это происходит только при \(x < 2\). То есть, мы можем утверждать, что неравенство \((x^2-7x+10)(x-9)^2 < 0\) выполняется только при \(x < 2\).

Для нахождения суммы всех целых решений неравенства, мы должны просуммировать все целые числа, которые являются решениями неравенства \(x < 2\). Эти числа можно выразить следующим образом: \(x = 1, 0, -1, -2, -3, \ldots\).

Таким образом, сумма всех целых решений неравенства \((x^2-7x+10)(x-9)^2 < 0\) равна \(-1 + 0 + 1 + 2 + 3 + \ldots\) или, в бесконечной форме, \(-\infty + \infty = \infty\).

Итак, сумма всех целых решений этой неравенства равна положительной бесконечности.