Як знайти суму всіх цілих розв язків нерівності (x^2-7x+10)(x-9)^2

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей пошагово.

Первым шагом мы должны найти все целые решения неравенства $(x^2-7x+10)(x-9{)}^2<0$. Для этого нам нужно найти значения $x$, при которых выражение $(x^2-7x+10)$ и $(x-9{)}^2$ имеют разные знаки.

Давайте начнем с факторизации. Мы можем факторизовать $x^2-7x+10$ следующим образом: $(x-2)(x-5)$. И факторизовать $(x-9{)}^2$ мы можем так: $(x-9)(x-9)$.

Теперь, чтобы понять знаки этих выражений, нам нужно исследовать интервалы, где они принимают положительные и отрицательные значения. Для этого рассмотрим каждый из множителей по отдельности.

Посмотрим на первый множитель $(x-2)(x-5)$. Заметим, что когда $x<2$, оба множителя будут отрицательными. Когда $2<x<5$, первый множитель будет положительным, а второй - отрицательным. И когда $x>5$, оба множителя будут положительными.

Теперь рассмотрим второй множитель $(x-9)(x-9)$. Заметим, что он всегда будет положительным, так как квадрат любого числа является положительным.

Теперь мы можем составить таблицу, чтобы лучше понять знаки произведения этих множителей:

$$\begin{array}{|cccc|}\hline x& (x-2)(x-5)& (x-9)(x-9)& \text{Знак произведения}\\ x<2& -& +& -\\ 2<x<5& +& +& +\\ x>5& +& +& +\\ \hline\end{array}$$

Теперь давайте посмотрим, где произведение этих множителей отрицательно. Из таблицы видно, что это происходит только при $x<2$. То есть, мы можем утверждать, что неравенство $(x^2-7x+10)(x-9{)}^2<0$ выполняется только при $x<2$.

Для нахождения суммы всех целых решений неравенства, мы должны просуммировать все целые числа, которые являются решениями неравенства $x<2$. Эти числа можно выразить следующим образом: $x=1,0,-1,-2,-3,\dots$.

Таким образом, сумма всех целых решений неравенства $(x^2-7x+10)(x-9{)}^2<0$ равна $-1+0+1+2+3+\dots$ или, в бесконечной форме, $-\mathrm{\infty }+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }$.

Итак, сумма всех целых решений этой неравенства равна положительной бесконечности.