Як розв язати наступні рівняння? 1) x, де 5^ x + 5^ 1-x = 6 2) x, де 6^ x + 6^ 1-x

Конечно! Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди и найдем их решения.

1) Для уравнения \(5^x + 5^{1-x} = 6\) предлагаю следующий подход:

Шаг 1: Приведем оба слагаемых к одной и той же степени 5.
Мы знаем, что \(5^{1-x} = \frac{1}{5^x}\), так как \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\).
Поэтому наше уравнение можно переписать в виде:
\(5^x + \frac{1}{5^x} = 6\).

Шаг 2: Приведем все слагаемые к общему знаменателю.
Умножим оба слагаемых на \(5^x\) для избавления от дроби:
\((5^x)^2 + 1 = 6 \cdot 5^x\).

Шаг 3: Решим получившееся квадратное уравнение.
Введем замену переменных, пусть \(u = 5^x\).
Тогда наше уравнение примет вид:
\(u^2 + 1 = 6u\).

Теперь решим это уравнение:
\(u^2 - 6u + 1 = 0\).

Шаг 4: Применим квадратное уравнение.
Для решения этого уравнения можно использовать квадратное уравнение.
Корни уравнения можно найти с помощью формулы
\(u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Подставляя значения \(a=1\), \(b=-6\) и \(c=1\), получаем:
\(u = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\).

Упрощая это выражение, получаем:
\(u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}\).
\(u = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}\).
\(u = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}\).

Упрощая дроби, получаем:
\(u = 3 \pm 2\sqrt{2}\).

Шаг 5: Вернемся к исходной переменной.
Мы знаем, что \(u = 5^x\).
Подставляя найденное значение \(u\), получаем два возможных решения:
\(5^x = 3 + 2\sqrt{2}\) и \( 5^x = 3 - 2\sqrt{2}\).

Чтобы получить конкретное значение \(x\), возведем оба выражения в логарифм по основанию 5:
\(\log_5(5^x) = \log_5(3 + 2\sqrt{2})\) и \(\log_5(5^x) = \log_5(3 - 2\sqrt{2})\).

В результате получаем два возможных значения \(x\):
\(x = \log_5(3 + 2\sqrt{2})\) и \(x = \log_5(3 - 2\sqrt{2})\).

Шаг 6: Вычислим приближенные значения для \(x\).
Подставим значения \(\log_5(3 + 2\sqrt{2})\) и \(\log_5(3 - 2\sqrt{2})\) в калькулятор,
чтобы получить приближенные значения для \(x\).

2) Для уравнения \(6^x + 6^{1-x}\) предлагаю использовать тот же подход:

Шаг 1: Приведем оба слагаемых к одной и той же степени 6.
Мы знаем, что \(6^{1-x} = \frac{1}{6^x}\), так как \(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\).
Поэтому наше уравнение можно переписать в виде:
\(6^x + \frac{1}{6^x} = 6\).

Шаг 2: Приведем все слагаемые к общему знаменателю.
Умножим оба слагаемых на \(6^x\) для избавления от дроби:
\((6^x)^2 + 1 = 6 \cdot 6^x\).

Шаг 3: Решим получившееся квадратное уравнение.
Введем замену переменных, пусть \(u = 6^x\).
Тогда наше уравнение примет вид:
\(u^2 + 1 = 6u\).

Теперь решим это уравнение:
\(u^2 - 6u + 1 = 0\).

Шаг 4: Применим квадратное уравнение.
Найдем значения \(u\) с помощью формулы квадратного уравнения:
\(u = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).

Подставляя значения \(a=1\), \(b=-6\) и \(c=1\), получаем:
\(u = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}\).

Упрощая это выражение, получаем:
\(u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2}\).
\(u = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2}\).
\(u = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2}\).

Упрощая дроби, получаем:
\(u = 3 \pm 2\sqrt{2}\).

Шаг 5: Вернемся к исходной переменной.
Мы знаем, что \(u = 6^x\).
Подставим найденное значение \(u\), чтобы найти \(x\):
\(6^x = 3 + 2\sqrt{2}\) и \(6^x = 3 - 2\sqrt{2}\).

Чтобы получить конкретное значение \(x\), возведем оба выражения в логарифм по основанию 6:
\(\log_6(6^x) = \log_6(3 + 2\sqrt{2})\) и \(\log_6(6^x) = \log_6(3 - 2\sqrt{2})\).

В результате получаем два возможных значения \(x\):
\(x = \log_6(3 + 2\sqrt{2})\) и \(x = \log_6(3 - 2\sqrt{2})\).

Шаг 6: Вычислим приближенные значения для \(x\).
Подставим значения \(\log_6(3 + 2\sqrt{2})\) и \(\log_6(3 - 2\sqrt{2})\) в калькулятор,
чтобы получить приближенные значения для \(x\).

Надеюсь, этот подробный разбор поможет вам лучше понять решение этих уравнений! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.