Як довести, що площа чотирикутника з опуклою формою, якому діагоналі перпендикулярні, дорівнює половині їхнього

Для того чтобы доказать, что площадь четырехугольника с выпуклой формой, у которого диагонали перпендикулярны, равна половине их произведения, мы можем использовать следующие шаги.

Шаг 1: Нарисовать четырехугольник с такими условиями. Давайте представим себе четырехугольник ABCD, где AB и CD - диагонали, которые перпендикулярны друг другу.

\[image\]

Шаг 2: Обозначим длины сторон и отрезков диагоналей. Пусть длина AB будет равна a, а длина CD - b.

\[image\]

Шаг 3: Разобъем четырехугольник на два треугольника. В нашем случае это будут треугольники ABC и CDA. Оба треугольника имеют общую высоту, которую мы обозначим h.

\[image\]

Шаг 4: Запишем формулу для площади треугольника ABC. Площадь треугольника равна половине произведения длины основания на высоту. Таким образом, площадь треугольника ABC будет равна \(\frac{1}{2}ah\).

Шаг 5: Запишем формулу для площади треугольника CDA. Аналогично площади треугольника ABC, площадь треугольника CDA будет равна \(\frac{1}{2}bh\).

Шаг 6: Сложим площади треугольников ABC и CDA, чтобы получить площадь всего четырехугольника. Поэтому общая площадь будет равна:

\[Площадь_{четырехугольника} = \frac{1}{2}ah + \frac{1}{2}bh\]

Шаг 7: Факторизуем полученное выражение. Выносим общий множитель \(\frac{1}{2}\) за скобки:

\[Площадь_{четырехугольника} = \frac{1}{2}(a + b)h\]

Шаг 8: Заметим, что величина \(a + b\) является диагональю четырехугольника, поскольку диагонали перпендикулярны. Обозначим ее как d.

\[Площадь_{четырехугольника} = \frac{1}{2}d \cdot h\]

Шаг 9: Приравняем полученное выражение к половине произведения длин диагоналей:

\[\frac{1}{2}d \cdot h = \frac{1}{2}ab\]

Шаг 10: Упростим выражение, деля обе части на \(\frac{1}{2}\):

\[d \cdot h = ab\]

Шаг 11: Мы получили, что произведение длин диагоналей равно произведению сторон врезультирующего четырехугольника. Таким образом, мы доказали, что площадь четырехугольника с опуклой формой, у которого диагонали перпендикулярны, равна половине их произведения.