Найдите угол между медианой ad и стороной ac в треугольнике abc с вершинами a(0; 4), b(3; 5) и c(1; 3). Также вычислите

Чтобы найти угол между медианой ad и стороной ac в треугольнике abc, нам нужно сначала найти вектора ad и ac, а затем вычислить угол между ними.

Для начала найдем вектор ad. Чтобы найти вектор, соединяющий две точки, вычитаем из координат конечной точки координату начальной точки. В данном случае:

\[\overrightarrow{ad} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{a}\]

где точка a(0; 4), а точка d - это точка пересечения медиан треугольника abc.

Для нахождения точки d, мы должны найти среднее арифметическое координат x и y вершин треугольника abc:

\[x_d = \frac{x_a + x_b + x_c}{3}\]
\[y_d = \frac{y_a + y_b + y_c}{3}\]

Подставим значения координат вершин треугольника:
\[x_d = \frac{0 + 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}\]
\[y_d = \frac{4 + 5 + 3}{3} = 4\]

Таким образом, точка d имеет координаты d(\(\frac{4}{3}\), 4).

Теперь мы можем найти вектор ad:
\[\overrightarrow{ad} = (\frac{4}{3}, 4) - (0, 4) = (\frac{4}{3}, 0)\]

Затем найдем вектор ac:
\[\overrightarrow{ac} = \overrightarrow{c} - \overrightarrow{a}\]
\[\overrightarrow{ac} = (1, 3) - (0, 4) = (1, -1)\]

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ac}\):
\[\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{ac} = (\frac{4}{3}, 0) \cdot (1, -1) = \frac{4}{3} \cdot 1 + 0 \cdot -1 = \frac{4}{3}\]

Вычислим длины векторов \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ac}\):

Длина вектора ad вычисляется по формуле:
\[|\overrightarrow{ad}| = \sqrt{{(\frac{4}{3})}^2 + 0^2} = \frac{4}{3}\]

Длина вектора ac вычисляется по формуле:
\[|\overrightarrow{ac}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}\]

Теперь мы можем найти угол между векторами \(\overrightarrow{ad}\) и \(\overrightarrow{ac}\) с помощью следующей формулы:

\[\cos{\theta} = \frac{\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{ac}}{|\overrightarrow{ad}| \cdot |\overrightarrow{ac}|}\]

\[\theta = \arccos{\frac{\overrightarrow{ad} \cdot \overrightarrow{ac}}{|\overrightarrow{ad}| \cdot |\overrightarrow{ac}|}}\]

Теперь мы можем вычислить значение угла:

\[\theta = \arccos{\frac{\frac{4}{3}}{\frac{4}{3} \cdot \sqrt{2}}} = \arccos{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \frac{\pi}{4} \approx 0.7854 \text{ радиан}\]

Или, если вам нужно в градусах:

\[\theta \approx 0.7854 \times \frac{180}{\pi} \approx 45^\circ\]

Теперь давайте рассчитаем значение выражения: "вектор ab умножить на вектор bd, плюс вектор ab умножить на вектор ac". Для этого нам нужно вычислить векторы ab, bd и ac.

Вектор ab вычисляется следующим образом:
\[\overrightarrow{ab} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}\]
\[\overrightarrow{ab} = (3, 5) - (0, 4) = (3, 1)\]

Вектор bd:
\[\overrightarrow{bd} = \overrightarrow{d} - \overrightarrow{b}\]
\[\overrightarrow{bd} = (\frac{4}{3}, 4) - (3, 5) = (\frac{4}{3} - 3, 4 - 5) = (-\frac{5}{3}, -1)\]

Вектор ac уже был вычислен ранее: \(\overrightarrow{ac} = (1, -1)\).

Теперь мы можем рассчитать значение выражения:
\[(\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{bd}) + (\overrightarrow{ab} \cdot \overrightarrow{ac})\]

\[(3, 1) \cdot (-\frac{5}{3}, -1) + (3, 1) \cdot (1, -1)\]

\[-\frac{15}{3} - 1 + 3 - 1\]

\[= -5 + 3 - 2 = -4\]

Таким образом, результат выражения "вектор ab умножить на вектор bd, плюс вектор ab умножить на вектор ac" равен -4.

Надеюсь, это понятно для вас!