X. 1. Каков угол, под которым радиус-вектор, определяющий положение точки А на плоскости XOY, направлен к оси ОХ? Каков

оси ОХ. Объясните каждый шаг в решении.

Задача X:
1. Пусть точка А имеет координаты (x, y) на плоскости XOY. Радиус-вектор, определяющий положение точки А, это вектор, который начинается в начале координат (точка O) и заканчивается в точке А. Обозначим этот радиус-вектор как \(\vec{r_A}\).

Модуль вектора гА (длина вектора гА) вычисляется по формуле:
\[|\vec{r_A}| = \sqrt{x^2 + y^2}\]
данный модуль представляет расстояние между началом координат и точкой А. Для нахождения угла, под которым радиус-вектор направлен к оси ОХ, можно использовать теорему тангенсов. Она гласит:
\[\tan(\alpha) = \frac{y}{x}\]
где \(\alpha\) - искомый угол, \(y\) - относительная координата по оси OY, \(x\) - относительная координата по оси ОХ.
Окончательный ответ: модуль вектора гА равен \(\sqrt{x^2 + y^2}\), угол, под которым радиус-вектор направлен к оси ОХ, равен \(\alpha = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)\).

2. Пусть точка В имеет координаты (x", y") на плоскости XOY. Радиус-вектор, определяющий положение точки В относительно точки А, можно вычислить, вычитая координаты точки А из координат точки В:
\(\vec{r_{AB}} = (x" - x, y" - y)\).

Модуль радиус-вектора \(\vec{r_{AB}}\) вычисляется по формуле:
\[|\vec{r_{AB}}| = \sqrt{{(x" - x)^2 + (y" - y)^2}}\]
Модуль радиус-вектора \(\vec{r_{AB}}\) показывает расстояние между точкой А и точкой В.

Проекция радиус-вектора \(\vec{r_{AB}}\) на ось ОХ равна:
\[|\vec{r_{ABx}}| = |x" - x|\]
Проекция радиус-вектора \(\vec{r_{AB}}\) на ось OY равна:
\[|\vec{r_{ABy}}| = |y" - y|\]
Эти проекции показывают, как изменяется положение точки В относительно точки А по каждой из осей.

3. Для нахождения модуля вектора \(\vec{r_{AB}}\) и угла, под которым он направлен к оси ОХ, можно использовать аналогичные формулы, указанные в пункте 1. Отличие заключается в замене (x, y) на (x", y") для точки В и (x, y) на (0, 0) для точки А.

Модуль вектора \(\vec{r_{AB}}\) вычисляется по формуле:
\[|\vec{r_{AB}}| = \sqrt{{x"^2 + y"^2}}\]
Угол, под котором вектор \(\vec{r_{AB}}\) направлен к оси ОХ, можно найти с помощью формулы:
\[\alpha = \arctan\left(\frac{y"}{x"}\right)\]

Окончательный ответ: модуль вектора \(\vec{r_{AB}}\) равен \(\sqrt{{x"^2 + y"^2}}\), угол, под которым вектор \(\vec{r_{AB}}\) направлен к оси ОХ, равен \(\alpha = \arctan\left(\frac{y"}{x"}\right)\).