What is the value of x that satisfies the equation sin(pi times the square root of x) times sin(pi times the square

Дано уравнение \(\sin(\pi\sqrt{x}) \cdot \sin(\pi\sqrt{x+2}) = 0\). Мы ищем значение \(x\), которое удовлетворяет данному уравнению.

Чтобы решить это уравнение, мы должны помнить о свойствах тригонометрических функций. В частности, синус нулевой, когда угол равен целому кратному \(\pi\): \(\sin(n\pi) = 0\), где \(n\) - целое число.

Рассмотрим первый множитель \(\sin(\pi\sqrt{x})\). Чтобы он равнялся нулю, его аргумент \(\pi\sqrt{x}\) должен быть целым кратным \(\pi\). Это возможно, когда \(\sqrt{x}\) является целым числом. Таким образом, у нас есть два возможных случая:

1) \(\sqrt{x} = n\), где \(n\) - целое число.
2) \(\sqrt{x} = n + \frac{1}{2}\), где \(n\) - целое число.

Рассмотрим второй множитель \(\sin(\pi\sqrt{x+2})\). Аналогично, чтобы он был равен нулю, его аргумент \(\pi\sqrt{x+2}\) должен быть целым кратным \(\pi\). Это также возможно, когда \(\sqrt{x+2}\) является целым числом или целым плюс половина:

1) \(\sqrt{x+2} = m\), где \(m\) - целое число.
2) \(\sqrt{x+2} = m + \frac{1}{2}\), где \(m\) - целое число.

Совмещая два этих условия, мы можем получить два набора значений \(x\):

1) Если \(\sqrt{x} = n\) и \(\sqrt{x+2} = m\), где и \(n\) и \(m\) являются целыми числами.
2) Если \(\sqrt{x} = n + \frac{1}{2}\) и \(\sqrt{x+2} = m + \frac{1}{2}\), где и \(n\) и \(m\) являются целыми числами.

Теперь, рассмотрим каждый случай отдельно:

1) Если \(\sqrt{x} = n\) и \(\sqrt{x+2} = m\), где и \(n\) и \(m\) являются целыми числами. Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x = n^2\). Подставим это значение во второе уравнение: \(m = \sqrt{n^2+2}\). Теперь найдем целочисленные значения \(n\) и \(m\), которые удовлетворяют условию. Здесь возникает некоторая сложность, так как число \(n^2+2\) по-разному может быть квадратом целых чисел. Предлагаю рассмотреть несколько наборов чисел и проверить условие:
- Если \(n = 0\), то \(m = \sqrt{2}\), что не является целым числом.
- Если \(n = 1\), то \(m = \sqrt{3}\), что также не является целым числом.
- Если \(n = 2\), то \(m = \sqrt{6}\), опять не целое число.
- Если \(n = 3\), то \(m = \sqrt{11}\), также не целое число.

Как мы видим, для случая, когда \(\sqrt{x} = n\) и \(\sqrt{x+2} = m\), нет целочисленного решения для \(x\).

2) Если \(\sqrt{x} = n + \frac{1}{2}\) и \(\sqrt{x+2} = m +\frac{1}{2}\), где и \(n\) и \(m\) являются целыми числами. Выразим \(x\) из первого уравнения: \(x = (n + \frac{1}{2})^2\). Подставим это значение во второе уравнение: \(m + \frac{1}{2} = \sqrt{(n + \frac{1}{2})^2 + 2}\). Возводим в квадрат обе части уравнения: \(m^2 + m + \frac{1}{4} = n^2 + n + \frac{5}{4}\). Упростим и сократим эту формулу: \(m^2 + m = n^2 + n + 1\). Теперь найдем целочисленные значения \(n\) и \(m\), которые удовлетворяют условию.
- Если \(n = 0\), то \(m^2 + m = 1\), это не имеет целочисленного решения.
- Если \(n = 1\), то \(m^2 + m = 3\), это не имеет целочисленного решения.
- Если \(n = 2\), то \(m^2 + m = 6\), это не имеет целочисленного решения.
- Если \(n = 3\), то \(m^2 + m = 11\), это не имеет целочисленного решения.

Как мы видим, и в этом случае нет целочисленного решения для \(x\).

Таким образом, решений данного уравнения с целочисленными значениями \(x\) не существует.