а) Каковы координаты векторов из точки A(1; 3) в точку B(4; 7) и из точки C(-1; -1) в точку D(7; 5)? б) Какова длина

а) Для нахождения вектора из точки A в точку B, мы вычитаем координаты A из координат B:

\[
\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix}4-1 \\ 7-3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 4\end{pmatrix}
\]

Аналогично, для вектора из точки C в точку D:

\[
\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix}7-(-1) \\ 5-(-1)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8 \\ 6\end{pmatrix}
\]

б) Длина вектора можно найти с помощью формулы:

\[
||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(\Delta x)^2 + (\Delta y)^2}
\]

где \(\Delta x\) и \(\Delta y\) - изменения координат по соответствующим осям. Для вектора AB:

\[
||\overrightarrow{AB}|| = \sqrt{(4-1)^2 + (7-3)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9+16} = \sqrt{25} = 5
\]

Аналогично, для вектора CD:

\[
||\overrightarrow{CD}|| = \sqrt{(7-(-1))^2 + (5-(-1))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64+36} = \sqrt{100} = 10
\]

в) Скалярное произведение векторов AB и CD определяется как:

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = AB \cdot CD \cdot \cos(\theta)
\]

где AB и CD - длины соответствующих векторов, а \(\theta\) - угол между векторами. Так как нам известны только длины векторов, мы можем использовать формулу:

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = ||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{CD}|| \cdot \cos(\theta)
\]

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 5 \cdot 10 \cdot \cos(\theta)
\]

\[
\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = 50 \cos(\theta)
\]

г) Для нахождения косинуса угла между векторами, мы используем следующую формулу:

\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD}}{||\overrightarrow{AB}|| \cdot ||\overrightarrow{CD}||}
\]

Подставляя известные значения, получаем:

\[
\cos(\theta) = \frac{50 \cos(\theta)}{5 \cdot 10}
\]

Или:

\[
\cos(\theta) = \frac{10 \cos(\theta)}{5 \cdot 10}
\]

\[
\cos(\theta) = \frac{1}{2}
\]

где \(\theta\) - угол между векторами AB и CD.

д) Для определения типа угла, нам нужно знать косинус угла. Косинус угла может быть:

- Больше 0 и меньше 1, если угол острый
- Равен 0, если угол прямой
- Меньше 0 и больше -1, если угол тупой

В нашем случае, косинус угла равен \(\frac{1}{2}\), что находится в диапазоне от 0 до 1. Значит, данный угол между векторами AB и CD является острым.

е) Чтобы векторы CV и DQ были перпендикулярными, их скалярное произведение должно быть равно 0:

\[
\overrightarrow{CV} \cdot \overrightarrow{DQ} = CV \cdot DQ \cdot \cos(\theta)
\]

\[
\overrightarrow{CV} \cdot \overrightarrow{DQ} = ||\overrightarrow{CV}|| \cdot ||\overrightarrow{DQ}|| \cdot \cos(\theta)
\]

\[
0 = ||\overrightarrow{CV}|| \cdot ||\overrightarrow{DQ}|| \cdot \cos(\theta)
\]

Так как угол между векторами AB и CD уже был определен как острый, мы можем установить, что \(\cos(\theta) > 0\). Значит, чтобы скалярное произведение было равно 0, длины векторов CV и DQ должны быть равны 0:

\[
||\overrightarrow{CV}|| = 0
\]

\[
||\overrightarrow{DQ}|| = 0
\]

Таким образом, чтобы векторы CV и DQ были перпендикулярными, значения x должны быть такими, чтобы CV и DQ были нулевыми векторами.