What is the value of x in the equation 25^log3 x -4×5^log3 x+1 =125?

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Итак, у нас есть уравнение: \(25^{\log3 x} -4 \times 5^{\log3 x+1} = 125\).

Шаг 1: Найдем значение \(\log3 x\).
Для начала, давайте заменим \(\log3 x\) на некоторую переменную, скажем, пусть \(y = \log3 x\).
Теперь у нас есть: \(25^y - 4 \times 5^{y+1} = 125\).

Шаг 2: Приведем выражение к более простому виду.
Заметим, что 125 - это не что иное, как \(5^3\), поэтому мы можем записать уравнение следующим образом: \(25^y - 4 \times 5^{y+1} = 5^3\).
Давайте упростим левую часть уравнения: \(5^{2y} - 4 \times 5^{y+1} = 5^3\).

Шаг 3: Применим свойства степеней.
Здесь нам пригодится знание о свойствах степеней. Мы знаем, что при умножении двух степеней с одинаковым основанием мы складываем их показатели степени.
Применим это к нашему уравнению:
\(5^{2y - (y + 1)} = 5^3\).

Шаг 4: Решите полученное уравнение.
У нас есть равные степени с одним и тем же основанием, поэтому их показатели должны быть равными.
\(2y - (y + 1) = 3\).
Раскроем скобки: \(2y - y - 1 = 3\).
Упростим уравнение: \(y - 1 = 3\).
Прибавим 1 к обеим сторонам: \(y = 4\).

Шаг 5: Найдите значение \(x\).
Теперь, когда у нас есть значение \(y\), мы можем найти значение \(\log3 x\).
Вспомним, что мы предположили, что \(y = \log3 x\). Теперь найдем \(x\):
\(\log3 x = 4\).
Разыгрывая логарифм, мы получим: \(3^4 = x\).
Расчет: \(81 = x\).

Итак, решение данного уравнения состоит в том, что \(x = 81\).