What is the value of x at the minimum point of the function y = (x^2-9x+9) * e^x

Хорошо, чтобы найти значение x при минимальной точке функции y, нам нужно найти производную функции и приравнять ее к нулю. Давайте начнем с нахождения производной.

Функция y = (x^2 - 9x + 9) * e^x является произведением двух функций: первая часть (x^2 - 9x + 9) - это квадратичная функция, а вторая часть e^x - это экспоненциальная функция. Для нахождения производной произведения двух функций, мы можем использовать правило производной произведения.

Применим это правило к нашей функции:

\[
\begin{align*}
y &= (x^2 - 9x + 9) \cdot e^x \\
y" &= (x^2 - 9x + 9)" \cdot e^x + (x^2 - 9x + 9) \cdot (e^x)" \\
\end{align*}
\]

Теперь найдем производные двух компонентов функции по отдельности. Начнем с первого слагаемого:

\[
\begin{align*}
(x^2 - 9x + 9)" &= (2x - 9) \\
\end{align*}
\]

Теперь найдем производную второго слагаемого:

\[
\begin{align*}
(e^x)" &= e^x \\
\end{align*}
\]

Теперь можем продолжить вычисление производной функции y:

\[
\begin{align*}
y" &= (2x - 9) \cdot e^x + (x^2 - 9x + 9) \cdot e^x \\
&= (2x - 9 + x^2 - 9x + 9) \cdot e^x \\
&= (x^2 - 7x) \cdot e^x \\
\end{align*}
\]

Теперь, чтобы найти значение x при минимальной точке функции, мы должны приравнять производную к нулю и решить полученное уравнение:

\[
\begin{align*}
(x^2 - 7x) \cdot e^x &= 0 \\
\end{align*}
\]

Это уравнение разделяется на две части:

\[
\begin{align*}
x^2 - 7x &= 0 \quad \text{(уравнение 1)}\\
e^x &= 0 \quad \text{(уравнение 2)}\\
\end{align*}
\]

Теперь решим каждое уравнение по отдельности:

Уравнение 2, \(e^x = 0\), не имеет решений, так как экспонента e^x всегда положительна.

Теперь решим уравнение 1, \(x^2 - 7x = 0\):

\[
\begin{align*}
x(x-7) &= 0 \\
x &= 0 \quad \text{или} \quad x = 7 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, получили два значения x, которые дают нам минимальную точку функции: x = 0 и x = 7.

Графически, мы можем увидеть, что это соответствует точкам, где функция достигает своего минимума. Я надеюсь, это помогло вам понять, как найти значение x при минимальной точке функции.