What is the value of the sixth term and the sum of the first six terms in a geometric progression with b1 = 243 and

Хорошо, давайте разберемся с этой задачей. У нас есть геометрическая прогрессия, первый элемент которой равен \(b_1 = 243\) и знаменатель равен \(q = -\frac{2}{3}\).

Для того чтобы найти шестой элемент прогрессии, нам необходимо использовать формулу \(a_n = b_1 \cdot q^{(n-1)}\), где \(a_n\) обозначает \(n\)-ый элемент прогрессии.

Подставим значения из условия:

\[a_6 = 243 \cdot \left(-\frac{2}{3}\right)^{(6-1)}\]

Чтобы упростить вычисления, посчитаем сначала необходимую степень:

\[\left(-\frac{2}{3}\right)^5 = \frac{2^5}{3^5} = \frac{32}{243}\]

Заменяем эту степень в нашей формуле:

\[a_6 = 243 \cdot \left(\frac{32}{243}\right) = 32\]

Таким образом, значение шестого элемента прогрессии равно 32.

Теперь перейдем к сумме первых шести элементов прогрессии. Для этого мы можем использовать формулу суммы геометрической прогрессии:

\[S_n = \frac{b_1 \cdot (1 - q^n)}{(1 - q)}\]

Подставим значения:

\[S_6 = \frac{243 \cdot (1 - \left(-\frac{2}{3}\right)^6)}{(1 - \left(-\frac{2}{3}\right))}\]

Вычислим сначала значение степени в числителе:

\[\left(-\frac{2}{3}\right)^6 = \frac{2^6}{3^6} = \frac{64}{729}\]

Возвращаемся к формуле:

\[S_6 = \frac{243 \cdot (1 - \frac{64}{729})}{(1 + \frac{2}{3})}\]

Теперь упростим выражение в числителе:

\(1 - \frac{64}{729} = \frac{729}{729} - \frac{64}{729} = \frac{665}{729}\)

Итак, формула для нахождения суммы первых шести элементов геометрической прогрессии становится:

\[S_6 = \frac{243 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}\]

Упростим дальше:

\[\frac{243 \cdot \frac{665}{729}}{\frac{5}{3}} = 243 \cdot \frac{665}{729} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 665}{3} = 665\]

Таким образом, сумма первых шести элементов прогрессии равна 665.

Итак, ответы на задачу:

Значение шестого элемента прогрессии: 32.
Сумма первых шести элементов прогрессии: 665.