What is the value of the first term a1 in the sequence, if a1 * a11 = 44 and a2 * a10 = 24? The answer should be

Чтобы найти значение первого элемента \(a_1\) в последовательности, удовлетворяющей условию \(a_1 \cdot a_{11} = 44\) и \(a_2 \cdot a_{10} = 24\), нам необходимо разобраться в свойствах последовательностей и взаимосвязи элементов.

Давайте предположим, что последовательность является арифметической прогрессией, где разность между последовательными элементами постоянна. Пусть эта разность будет обозначена как \(d\). Тогда мы можем выразить каждый элемент последовательности через значение \(a_1\) и \(d\) по формуле \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(a_n\) - \(n\)-й элемент последовательности.

Так как нам дано, что \(a_1 \cdot a_{11} = 44\), мы можем записать это выражение в виде \((a_1 + 10d) \cdot (a_1 + 10d) = 44\). Раскрыв скобки, получим уравнение вида \(a_1^2 + 20da_1 + 100d^2 = 44\).

Аналогично, используя другое предоставленное условие, \(a_2 \cdot a_{10} = 24\), мы можем записать это выражение как \((a_1 + d) \cdot (a_1 + 9d) = 24\). Раскрыв скобки, получим \(a_1^2 + 10da_1 + 9d^2 = 24\).

Теперь у нас есть система уравнений, состоящая из этих двух уравнений:

\[
\begin{align*}
a_1^2 + 20da_1 + 100d^2 &= 44 \\
a_1^2 + 10da_1 + 9d^2 &= 24
\end{align*}
\]

Мы можем решить эту систему уравнений, вычитая второе уравнение из первого:

\[
\begin{align*}
(a_1^2 - a_1^2) + (20da_1 - 10da_1) + (100d^2 - 9d^2) &= (44 - 24) \\
10da_1 + 91d^2 &= 20 \quad \text{(1)}
\end{align*}
\]

Теперь мы можем получить значение \(a_1\) из этой системы уравнений. Для этого мы можем использовать второе предложение, \(a_2 \cdot a_{10} = 24\), чтобы получить еще одно уравнение.

Если мы поделим это уравнение на предыдущее, получим:

\[
\frac{a_2 \cdot a_{10}}{a_1 \cdot a_{11}} = \frac{24}{44}
\]

\[
\frac{a_2 \cdot a_1}{a_1^2 + 20da_1 + 100d^2} = \frac{6}{11}
\]

\[
\frac{a_2}{a_1 + 20d} = \frac{6}{11}
\]

Вспомним, что по формуле арифметической прогрессии \(a_2 = a_1 + d\). Подставим это в уравнение:

\[
\frac{a_1 + d}{a_1 + 20d} = \frac{6}{11}
\]

Продолжим с упрощением этого уравнения:

\[
11(a_1 + d) = 6(a_1 + 20d)
\]

\[
11a_1 + 11d = 6a_1 + 120d
\]

\[
5a_1 = 109d
\]

Отсюда мы можем получить значение \(a_1\) в зависимости от значения \(d\):

\[
a_1 = \frac{109d}{5} \quad \text{(2)}
\]

Теперь у нас есть два уравнения: уравнение (1) и уравнение (2). Мы можем решить эту систему, подставив (2) в (1):

\[
\begin{align*}
10da_1 + 91d^2 &= 20 \\
10d \cdot \frac{109d}{5} + 91d^2 &= 20 \\
109d^2 + 91d^2 &= 100d \\
200d^2 &= 100d \\
200d^2 - 100d &= 0 \\
100d(2d - 1) &= 0
\end{align*}
\]

Из этого уравнения мы получаем две возможные комбинации значений \(d\): \(d = 0\) или \(d = \frac{1}{2}\).

Если \(d = 0\), то \(a_1 = \frac{109d}{5} = 0\), что является невозможным, так как в арифметической прогрессии с разностью 0 все элементы будут одинаковыми.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что \(d = \frac{1}{2}\). Подставим это значение \(d\) в уравнение (2):

\[
a_1 = \frac{109 \cdot \frac{1}{2}}{5} = \frac{109}{10}
\]

Таким образом, значение первого элемента \(a_1\) в данной последовательности равно \(\frac{109}{10}\).