What is the value of tg(π+t) if it is known that sin(6π+t)=20/29,0 tg(π+t)?

Для решения данной задачи, нам необходимо использовать тригонометрические тождества и определения.

Известно, что \(\sin(6\pi + t) = \frac{20}{29}\). Мы также знаем, что \(\tan(\pi + t) = \frac{\sin(\pi + t)}{\cos(\pi+t)}\).

Для начала, давайте рассмотрим значение \(\sin(6\pi + t)\). По тригонометрическим тождествам мы имеем:

\(\sin(6\pi + t) = \sin(6\pi)\cos(t) + \cos(6\pi)\sin(t)\)

Так как \(\sin(6\pi) = 0\) и \(\cos(6\pi) = 1\), мы можем упростить уравнение:

\(\sin(6\pi + t) = 0\cdot\cos(t) + 1\cdot\sin(t) = \sin(t)\)

Теперь у нас есть \(\sin(t) = \frac{20}{29}\). Мы можем использовать это значение, чтобы найти значение \(\cos(t)\) через тождество \(\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1\):

\(\left(\frac{20}{29}\right)^2 + \cos^2(t) = 1\)

Упростив это уравнение, мы получаем:

\(\frac{400}{841} + \cos^2(t) = 1\)

Вычитая \(\frac{400}{841}\) из обеих сторон уравнения, мы получаем:

\(\cos^2(t) = 1 - \frac{400}{841} = \frac{441}{841}\)

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, мы получаем:

\(\cos(t) = \pm \frac{21}{29}\)

Теперь у нас есть значения \(\sin(t)\) и \(\cos(t)\). Мы можем использовать их, чтобы найти значение \(\tan(\pi + t)\):

\[
\tan(\pi + t) = \frac{\sin(\pi + t)}{\cos(\pi + t)} = \frac{\sin(t)}{\cos(t)}
\]

Заменив значения, мы получаем:

\[
\tan(\pi + t) = \frac{\frac{20}{29}}{\pm \frac{21}{29}} = \pm \frac{20}{21}
\]

Таким образом, значение \(\tan(\pi + t)\) равно \(\pm \frac{20}{21}\).