What is the value of sin(x+pi)-cos(-3pi/2-x)+sin(810-x)?

Хорошо! Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

Задача состоит в вычислении значения выражения \(\sin(x+\pi)-\cos(-\frac{3\pi}{2}-x)+\sin(810-x)\).

Первым шагом мы можем использовать основные тригонометрические тождества, чтобы упростить это выражение. Давайте начнем с первого слагаемого \(\sin(x+\pi)\).

Мы знаем, что \(\sin(x+\pi) = -\sin x\), поскольку добавление \(\pi\) к аргументу синуса переворачивает знак синуса. Таким образом, первое слагаемое становится \(-\sin x\).

Теперь рассмотрим второе слагаемое \(-\cos(-\frac{3\pi}{2}-x)\). Здесь мы можем использовать тот же принцип, что и для первого слагаемого. Мы знаем, что \(\cos(-\theta) = \cos \theta\), поэтому \(-\cos(-\frac{3\pi}{2}-x) = -\cos(\frac{3\pi}{2}+x)\).

Мы знаем, что \(\cos(\frac{3\pi}{2}+x) = -\sin x\), поскольку \(\cos\theta\) является синусом дополнительного угла \(\theta\). Таким образом, второе слагаемое становится \(-(-\sin x) = \sin x\).

Теперь рассмотрим третье слагаемое \(\sin(810-x)\). Здесь мы можем использовать предыдущий вывод о функции синуса дополнительного угла \(\theta\). Мы знаем, что \(\sin(810-x) = \sin(-x+360+450)\).

Используя сложение углов в тригонометрии, мы можем переписать \(\sin(-x+360+450) = \sin(-x+810)\). Таким образом, третье слагаемое становится \(\sin(-x+810)\).

Наконец, с учетом всех упрощений и замен, наше начальное выражение \(\sin(x+\pi)-\cos(-\frac{3\pi}{2}-x)+\sin(810-x)\) упрощается до \(-\sin x + \sin x + \sin(-x+810)\).

Заметим, что первое два слагаемых взаимно уничтожаются, оставляя только третье слагаемое \(\sin(-x+810)\).

Таким образом, исходное выражение \(\sin(x+\pi)-\cos(-\frac{3\pi}{2}-x)+\sin(810-x)\) эквивалентно \(\sin(-x+810)\).

Теперь мы можем рассчитать значение выражения для любого значения \(x\). Например, если выставить \(x=0\), то получим \(\sin(-0+810) = \sin 810\).

Вот и весь ответ! Значение равностороннего треугольника равно \(\sin 810\).