What is the value of (sin 21))/(sin 7) - (cos 21))/(cos

Для начала вспомним основные тригонометрические тождества:

1. Тангенс суммы двух углов:
\(\tan(A+B) = \frac{{\tan A + \tan B}}{{1-\tan A \cdot \tan B}}\)

2. Тождество синусов:
\(\sin^2 A + \cos^2 A = 1\)

3. Тождество косинусов:
\(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\)

4. Соотношение между синусом и косинусом:
\(\sin A = \sqrt{1 - \cos^2 A}\)
\(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}\)

Давайте применим эти тождества для решения задачи.

Перепишем выражение под знаком деления, применяя соотношения между синусом и косинусом.
\[\frac{{\sin 21}}{{\sin 7}} - \frac{{\cos 21}}{{\cos 7}}\]

Применим тождество синусов:
\[\frac{{\sin 21}}{{\sin 7}} = \frac{{\sqrt{1 - \cos^2 21}}}{{\sin 7}}\]

Применим тождество косинусов:
\(\cos^2 21 = 1 - \sin^2 21\)

Заметим, что сумма двух углов равна 28:
\(21 + 7 = 28\)

Применим тангенс суммы двух углов для углов 21 и 7:
\(\tan(21 + 7) = \frac{{\tan 21 + \tan 7}}{{1 - \tan 21 \cdot \tan 7}}\)

Тангенсы углов 21 и 7 можно найти, применив определение тангенса: отношение синуса косинуса:
\(\tan 21 = \frac{{\sin 21}}{{\cos 21}}\)
\(\tan 7 = \frac{{\sin 7}}{{\cos 7}}\)

Таким образом, подставляем все полученные значения и продолжаем решение:
\(\frac{{\sqrt{1 - (1 - \sin^2 21)}}}{{\sin 7}} - \frac{{\cos 21}}{{\cos 7}} = \frac{{\sqrt{\sin^2 21}}}{{\sin 7}} - \frac{{\cos 21}}{{\cos 7}} = \frac{{\sin 21}}{{\sin 7}} - \frac{{\cos 21}}{{\cos 7}}\)

Итак, мы пришли к тому же выражению, которое мы начали с решением, поэтому ответ на задачу равен:
\(\frac{{\sin 21}}{{\sin 7}} - \frac{{\cos 21}}{{\cos 7}}\)

Полученный ответ может быть упрощен, но для этого требуется больше информации о задаче или дополнительные условия.