What is the value of cos3a - cos5a given that cosa

Для начала, нам нужно разложить выражение \(\cos 3a - \cos 5a\). Для этого воспользуемся формулой двойного угла для косинуса:

\[
\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1
\]

Теперь представим \(\cos 3a\) и \(\cos 5a\) в виде разностей двух углов:

\[
\cos 3a = \cos (2a + a) = \cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a
\]

\[
\cos 5a = \cos (2a + 3a) = \cos 2a \cos 3a - \sin 2a \sin 3a
\]

Теперь мы можем вычислить значение выражения \(\cos 3a - \cos 5a\). Подставим разложения и упростим выражение:

\[
\begin{align*}
\cos 3a - \cos 5a &= (\cos 2a \cos a - \sin 2a \sin a) - (\cos 2a \cos 3a - \sin 2a \sin 3a) \\
&= \cos 2a \cos a - \cos 2a \cos 3a - \sin 2a \sin a + \sin 2a \sin 3a \\
&= \cos 2a (\cos a - \cos 3a) + \sin 2a (\sin 3a - \sin a)
\end{align*}
\]

Мы можем разложить разность косинусов и разность синусов, используя формулы тригонометрии. Для этого приведем формулы:

\[
\begin{align*}
\cos\alpha - \cos\beta &= -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \\
\sin\alpha - \sin\beta &= 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)
\end{align*}
\]

Теперь применим эти формулы:

\[
\begin{align*}
\cos 2a (\cos a - \cos 3a) + \sin 2a (\sin 3a - \sin a) &= -2\sin a \cos \left(\frac{a + 3a}{2}\right) \sin \left(\frac{a - 3a}{2}\right) + 2\cos a \sin \left(\frac{3a + a}{2}\right) \sin \left(\frac{3a - a}{2}\right) \\
&= -2\sin a \cos 2a \sin (-a) + 2\cos a \sin 2a \sin a \\
&= -2\sin a \cos 2a (-\sin a) + 2\cos a \sin 2a \sin a \\
&= 2 \sin^2 a \cos 2a + 2 \cos^2 a \sin 2a \\
&= 2 \sin a \cos 2a (\sin a + \cos a)
\end{align*}
\]

Наконец, подставим значение \(\cos a = 0.6\) в выражение, чтобы получить числовой ответ:

\[
\begin{align*}
2 \cdot 0.6 \cdot \cos(2 \cdot 0.6) \cdot (0.6 + \cos(0.6)) &= 0.72 \cdot \cos(1.2) \cdot (0.6 + 0.8) \\
&= 0.72 \cdot \cos(1.2) \cdot 1.4 \\
&\approx 0.45 \cdot 1.4 \\
&\approx 0.63
\end{align*}
\]

Итак, значение выражения \(\cos 3a - \cos 5a\) при условии \(\cos a = 0.6\) составляет около 0.63.