What is the simplified form of the expression 4y+24/5y^2-45+y+3/5y^2-15y y-3/y^2+3y?

Хорошо, давайте разберем данную задачу по шагам.

1. В начале задачи у нас есть выражение: \(4y+\frac{{24}}{{5y^2-45}}+y+\frac{{3}}{{5y^2-15y}}\div \frac{{y-3}}{{y^2+3y}}\)

2. Прежде чем продолжить упрощение выражения, давайте посмотрим, есть ли какие-либо общие множители, которые мы могли бы сократить. В данном случае таких нет.

3. Теперь соберем подобные слагаемые в выражении. Мы сначала объединим слагаемые, содержащие \(y\):

\(4y + y = 5y\)

4. Теперь давайте упростим дробные слагаемые в выражении. Для этого у нас есть две дроби:

\(\frac{{24}}{{5y^2-45}}\) и \(\frac{{3}}{{5y^2-15y}}\div \frac{{y-3}}{{y^2+3y}}\)

Для начала упростим дробные выражения в обоих дробях. Воспользуемся правилом переноса деления в дроби, и умножим первую дробь на обратную второй дроби:

\(\frac{{24}}{{5y^2-45}} \cdot \frac{{y^2+3y}}{{y-3}}\)

5. Теперь раскроем скобки в знаменателях:

\(\frac{{24}}{{5(y^2-9)}} \cdot \frac{{y(y+3)}}{{y-3}}\)

6. Заметим, что \(y^2-9\) является разностью квадратов и может быть упрощена:

\(\frac{{24}}{{5(y+3)(y-3)}} \cdot \frac{{y(y+3)}}{{y-3}}\)

7. Теперь смотрим на общие множители в числителе и знаменателе:

- В числителе у нас есть множители \(y\) и \(y+3\).
- В знаменателе у нас есть множители \(y-3\) и \(5(y+3)\).
- Видим, что множители \(y+3\) и \(y-3\) сократятся.

8. Таким образом, после сокращения мы получим:

\(\frac{{24}}{{5}} \cdot \frac{{y}}{{1}} = \frac{{24y}}{{5}}\)

9. И наконец, упростим выражение, чтобы получить его окончательный вид:

\(4y+\frac{{24y}}{{5}} = 4y+\frac{{24y}}{{5}} = \frac{{20y+24y}}{{5}} = \frac{{44y}}{{5}}\)

Таким образом, упрощенная форма данного выражения равна \(\frac{{44y}}{{5}}\).

Надеюсь, что данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить упрощенную форму данного выражения. Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать.