What is the simplified form of 1 - sin(x) + 2cos^2(x)? What is the simplified form of 3cos(a) - 3cos(36 - a) + sin(90

Давайте начнем с первой задачи:

Нам нужно упростить выражение \(1 - \sin(x) + 2\cos^2(x)\).

Давайте приведем каждый член выражения к общему знаменателю. Заметим, что у нас уже есть \(\sin(x)\), что означает, что общий знаменатель может быть \(\cos(x)\) (так как \(\sin(x) = \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}}\)).

Теперь обратимся к выражению \(2\cos^2(x)\). Мы можем записать \(\cos^2(x)\) как \(\left(\cos(x)\right)^2\) (так как \(\cos^2(x)\) означает \(\cos(x) \cdot \cos(x)\)).

Таким образом, можно переписать выражение в следующем виде:

\(\frac{{\cos(x)}}{{\cos(x)}} - \frac{{\sin(x)}}{{\cos(x)}} + 2\left(\frac{{\cos(x)}}{{\cos(x)}}\right)^2\).

Теперь, применив свойства доли, мы можем раскрыть скобки и упростить эту дробь:

\(\frac{{\cos(x) - \sin(x) + 2\cos^2(x)}}{{\cos(x)}}\).

Далее, упростим числитель. Мы можем заметить, что \(2\cos^2(x)\) означает \(\cos^2(x) + \cos^2(x)\), и мы можем заменить \(\cos^2(x)\) на \(1 - \sin^2(x)\) (используя основное тригонометрическое тождество \(\cos^2(x) + \sin^2(x) = 1\)).

\(\frac{{\cos(x) - \sin(x) + 2(1 - \sin^2(x))}}{{\cos(x)}}\).

Раскрываем скобки и упрощаем:

\(\frac{{\cos(x) - \sin(x) + 2 - 2\sin^2(x)}}{{\cos(x)}}\).

Теперь упростим числитель еще больше:

\(\frac{{2 - 2\sin^2(x) + \cos(x) - \sin(x)}}{{\cos(x)}}\).

И, наконец, объединим все члены числителя и запишем изначальное выражение в упрощенной форме:

\(\frac{{2 + \cos(x) - \sin(x) - 2\sin^2(x)}}{{\cos(x)}}\).

Таким образом, упрощенная форма выражения \(1 - \sin(x) + 2\cos^2(x)\) равна \(\frac{{2 + \cos(x) - \sin(x) - 2\sin^2(x)}}{{\cos(x)}}\).

Теперь перейдем ко второй задаче:

Нам нужно упростить выражение \(3\cos(a) - 3\cos(36 - a) + \sin(90 - a) + \sin(a + 90)\).

Мы начнем с упрощения двух тригонометрических членов, где присутствуют разности углов:

\(\cos(36 - a)\) и \(\sin(90 - a)\).

Для упрощения таких выражений, мы можем использовать формулы тригонометрии. Например, у нас есть формула \(\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)\).

Применим эту формулу к \(\cos(36 - a)\):

\(\cos(36 - a) = \cos(36)\cos(a) + \sin(36)\sin(a)\).

Теперь, рассмотрим выражение \(\sin(90 - a)\). Помним, что \(\sin(90 - \alpha) = \cos(\alpha)\).

Таким образом, получаем:

\(3\cos(a) - 3(\cos(36)\cos(a) + \sin(36)\sin(a)) + \cos(a + 90) + \sin(a + 90)\).

Мы также можем использовать формулу \(\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\), чтобы упростить \(\cos(a + 90)\):

\(\cos(a + 90) = \cos(a)\cos(90) - \sin(a)\sin(90)\).

Заметим, что \(\cos(90) = 0\) и \(\sin(90) = 1\).

Теперь упростим выражение, подставляя полученные значения:

\(3\cos(a) - 3(\cos(36)\cos(a) + \sin(36)\sin(a)) + 0 + 1\).

Раскрываем скобки:

\(3\cos(a) - 3\cos(36)\cos(a) - 3\sin(36)\sin(a) + 1\).

Теперь объединим все члены и получим упрощенное выражение:

\(4\cos(a) - 3\cos(36)\cos(a) - 3\sin(36)\sin(a) + 1\).

Таким образом, упрощенная форма выражения \(3\cos(a) - 3\cos(36 - a) + \sin(90 - a) + \sin(a + 90)\) равна \(4\cos(a) - 3\cos(36)\cos(a) - 3\sin(36)\sin(a) + 1\).

Перейдем к третьей задаче:

Нам дано, что \(\alpha\) равно 36 градусам. Нам нужно найти значение \(a - \alpha\).

Для этого, мы вычтем значение \(\alpha\) из значения \(a\):

\(a - \alpha = a - 36\).

Таким образом, значение \(a - \alpha\) равно \(a - 36\).