What is the simplified form of 1 - sin(x) + 2cos^2(x)? What is the simplified form of 3cos(a) - 3cos(36 - a) + sin(90

Давайте начнем с первой задачи:

Нам нужно упростить выражение $1-\sin (x)+2{\cos }^2(x)$.

Давайте приведем каждый член выражения к общему знаменателю. Заметим, что у нас уже есть $\sin (x)$, что означает, что общий знаменатель может быть $\cos (x)$ (так как $\sin (x)=\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$).

Теперь обратимся к выражению $2{\cos }^2(x)$. Мы можем записать ${\cos }^2(x)$ как ${(\cos (x))}^2$ (так как ${\cos }^2(x)$ означает $\cos (x)\cdot \cos (x)$).

Таким образом, можно переписать выражение в следующем виде:

$\frac{\cos (x)}{\cos (x)}-\frac{\sin (x)}{\cos (x)}+2{\left(\frac{\cos (x)}{\cos (x)}\right)}^2$.

Теперь, применив свойства доли, мы можем раскрыть скобки и упростить эту дробь:

$\frac{\cos (x)-\sin (x)+2{\cos }^2(x)}{\cos (x)}$.

Далее, упростим числитель. Мы можем заметить, что $2{\cos }^2(x)$ означает ${\cos }^2(x)+{\cos }^2(x)$, и мы можем заменить ${\cos }^2(x)$ на $1-{\sin }^2(x)$ (используя основное тригонометрическое тождество ${\cos }^2(x)+{\sin }^2(x)=1$).

$\frac{\cos (x)-\sin (x)+2(1-{\sin }^2(x))}{\cos (x)}$.

Раскрываем скобки и упрощаем:

$\frac{\cos (x)-\sin (x)+2-2{\sin }^2(x)}{\cos (x)}$.

Теперь упростим числитель еще больше:

$\frac{2-2{\sin }^2(x)+\cos (x)-\sin (x)}{\cos (x)}$.

И, наконец, объединим все члены числителя и запишем изначальное выражение в упрощенной форме:

$\frac{2+\cos (x)-\sin (x)-2{\sin }^2(x)}{\cos (x)}$.

Таким образом, упрощенная форма выражения $1-\sin (x)+2{\cos }^2(x)$ равна $\frac{2+\cos (x)-\sin (x)-2{\sin }^2(x)}{\cos (x)}$.

Теперь перейдем ко второй задаче:

Нам нужно упростить выражение $3\cos (a)-3\cos (36-a)+\sin (90-a)+\sin (a+90)$.

Мы начнем с упрощения двух тригонометрических членов, где присутствуют разности углов:

$\cos (36-a)$ и $\sin (90-a)$.

Для упрощения таких выражений, мы можем использовать формулы тригонометрии. Например, у нас есть формула $\cos (\alpha -\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )+\sin (\alpha )\sin (\beta )$.

Применим эту формулу к $\cos (36-a)$:

$\cos (36-a)=\cos (36)\cos (a)+\sin (36)\sin (a)$.

Теперь, рассмотрим выражение $\sin (90-a)$. Помним, что $\sin (90-\alpha )=\cos (\alpha )$.

Таким образом, получаем:

$3\cos (a)-3(\cos (36)\cos (a)+\sin (36)\sin (a))+\cos (a+90)+\sin (a+90)$.

Мы также можем использовать формулу $\cos (\alpha +\beta )=\cos (\alpha )\cos (\beta )-\sin (\alpha )\sin (\beta )$, чтобы упростить $\cos (a+90)$:

$\cos (a+90)=\cos (a)\cos (90)-\sin (a)\sin (90)$.

Заметим, что $\cos (90)=0$ и $\sin (90)=1$.

Теперь упростим выражение, подставляя полученные значения:

$3\cos (a)-3(\cos (36)\cos (a)+\sin (36)\sin (a))+0+1$.

Раскрываем скобки:

$3\cos (a)-3\cos (36)\cos (a)-3\sin (36)\sin (a)+1$.

Теперь объединим все члены и получим упрощенное выражение:

$4\cos (a)-3\cos (36)\cos (a)-3\sin (36)\sin (a)+1$.

Таким образом, упрощенная форма выражения $3\cos (a)-3\cos (36-a)+\sin (90-a)+\sin (a+90)$ равна $4\cos (a)-3\cos (36)\cos (a)-3\sin (36)\sin (a)+1$.

Перейдем к третьей задаче:

Нам дано, что $\alpha$ равно 36 градусам. Нам нужно найти значение $a-\alpha$.

Для этого, мы вычтем значение $\alpha$ из значения $a$:

$a-\alpha =a-36$.

Таким образом, значение $a-\alpha$ равно $a-36$.