Устно реши уравнение x(4x-7)²+x²(4x-7)=0 и найди сумму его корней

Хорошо, давайте решим данное уравнение пошагово.

1. Начнем с уравнения: \(x(4x-7)^2 + x^2(4x-7) = 0\).

2. Раскроем квадратные скобки: \(x(16x^2 - 56x + 49) + x^2(4x-7) = 0\).

3. Упростим уравнение, умножив \(x\) на каждый элемент в первой скобке: \(16x^3 - 56x^2 + 49x + 4x^3 - 7x^2 = 0\).

4. Скомбинируем подобные члены: \(20x^3 - 63x^2 + 49x = 0\).

5. Теперь, для того чтобы найти корни уравнения, приравняем его к нулю: \(20x^3 - 63x^2 + 49x = 0\).

6. Факторизуем это уравнение, извлекая общий множитель: \(x(20x^2 - 63x + 49) = 0\).

7. Заметим, что \(x = 0\) является одним из корней.

8. Решим квадратное уравнение \(20x^2 - 63x + 49 = 0\) для нахождения остальных корней.

- Используем квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\).
- В нашем случае, \(a = 20\), \(b = -63\), и \(c = 49\).
- Применим формулу дискриминанта для нахождения корней: \(D = b^2 - 4ac\).
- Рассчитаем дискриминант: \(D = (-63)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 49\).
- Получаем \(D = 3969 - 3920 = 49\).
- Дискриминант равен положительному числу, поэтому у нас есть два корня.
- Корни квадратного уравнения можно найти с помощью формулы: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
- Подставим значения: \(x_1 = \frac{-(-63) + \sqrt{49}}{2 \cdot 20} = \frac{63 + 7}{40} = \frac{70}{40} = \frac{7}{4}\).
- \(x_2 = \frac{-(-63) - \sqrt{49}}{2 \cdot 20} = \frac{63 - 7}{40} = \frac{56}{40} = \frac{7}{5}\).

9. Таким образом, уравнение \(x(4x-7)^2+x^2(4x-7) = 0\) имеет три корня: \(x_1 = 0\), \(x_2 = \frac{7}{4}\) и \(x_3 = \frac{7}{5}\).

10. Чтобы найти сумму корней, просто сложим все значения: \(0 + \frac{7}{4} + \frac{7}{5} = \frac{0}{1} + \frac{35}{20} + \frac{28}{20} = \frac{63}{20}\).

Итак, сумма корней уравнения \(x(4x-7)^2+x^2(4x-7) = 0\) равна \(\frac{63}{20}\).