What is the scalar product of the given vectors in the following cases for a rhombus with a short diagonal of 22

Конечно! Я помогу вам решить задачу о скалярном произведении векторов для ромба с короткой диагональю длиной 22 см.

Перед тем, как мы перейдем к решению конкретных задач, давайте вспомним, что такое скалярное произведение векторов. Скалярное произведение двух векторов определяется как произведение модулей векторов на косинус угла между ними:

\[ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| \cdot |\mathbf{B}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( \mathbf{A} \) и \( \mathbf{B} \) - это векторы, \( |\mathbf{A}| \) и \( |\mathbf{B}| \) - их модули, а \( \theta \) - угол между ними.

Теперь давайте приступим к решению задачи:

1. CB−→−⋅CD−→−=?

Для начала, нам понадобятся векторы CB−→− и CD−→−, чтобы вычислить их скалярное произведение. Поскольку речь идет о ромбе, то мы знаем, что CB−→− и CD−→− — это две диагонали ромба.

Зная, что короткая диагональ ромба равна 22 см, мы можем сделать вывод, что CB−→− и CD−→− равны этой длине (22 см).

Теперь используем формулу для скалярного произведения:

\[ CB−→−\cdot CD−→− = |\mathbf{CB−→−}| \cdot |\mathbf{CD−→−}| \cdot \cos(\theta_{CB,CD}) \]

Где \( \theta_{CB,CD} \) - угол между векторами CB−→− и CD−→−.

Поскольку CB−→− и CD−→− - это диагонали ромба, они пересекаются в точке C и образуют прямой угол. Значит, угол \( \theta_{CB,CD} \) равен 90 градусам.

Зная все эти данные, мы можем записать:

\[ CB−→−\cdot CD−→− = 22 \, \text{см} \cdot 22 \, \text{см} \cdot \cos(90°) \]

Так как \( \cos(90°) \) равен нулю, получаем:

\[ CB−→−\cdot CD−→− = 0 \]

Ответ: скалярное произведение векторов CB−→− и CD−→− равно нулю.

2. OA−→−⋅OB−→−=?

Для этой задачи нам также понадобятся векторы OA−→− и OB−→−. К счастью, этот случай намного проще, так как речь идет о векторах, заданных точками A и B.

Мы можем использовать формулу скалярного произведения:

\[ OA−→−\cdot OB−→− = |\mathbf{OA−→−}| \cdot |\mathbf{OB−→−}| \cdot \cos(\theta_{OA,OB}) \]

Где \( \theta_{OA,OB} \) - угол между векторами OA−→− и OB−→−.

Поскольку OA−→− и OB−→− - это радиусы ромба, они имеют общую начальную точку O и образуют угол между собой, равный 60 градусам.

Таким образом, мы можем записать:

\[ OA−→−\cdot OB−→− = |\mathbf{OA−→−}| \cdot |\mathbf{OB−→−}| \cdot \cos(60°) \]

Раскрывая это выражение, получаем:

\[ OA−→−\cdot OB−→− = 22 \, \text{см} \cdot 22 \, \text{см} \cdot \cos(60°) \]

Вычислив значение \( \cos(60°) \) (равное \( \frac{1}{2} \)), мы получаем:

\[ OA−→−\cdot OB−→− = 22 \, \text{см} \cdot 22 \, \text{см} \cdot \frac{1}{2} \]

\[ OA−→−\cdot OB−→− = 242 \, \text{см}^2 \]

Ответ: скалярное произведение векторов OA−→− и OB−→− равно 242 сантиметрам в квадрате.

3. BA−→−⋅BC−→−=?

Теперь мы рассмотрим векторы BA−→− и BC−→−.

Используя ту же формулу, как в предыдущих задачах, мы можем записать:

\[ BA−→−\cdot BC−→− = |\mathbf{BA−→−}| \cdot |\mathbf{BC−→−}| \cdot \cos(\theta_{BA,BC}) \]

Опять же, поскольку BA−→− и BC−→− - это диагонали ромба, и они пересекаются в точке B, образуя прямой угол, у нас есть \( \theta_{BA,BC} = 90° \).

Теперь мы можем записать:

\[ BA−→−\cdot BC−→− = 22 \, \text{см} \cdot 22 \, \text{см} \cdot \cos(90°) \]

Так как \( \cos(90°) \) равен нулю, получаем:

\[ BA−→−\cdot BC−→− = 0 \]

Ответ: скалярное произведение векторов BA−→− и BC−→− равно нулю.

Надеюсь, это объяснение полностью прояснило суть решения задачи. Если у вас возникнут какие-либо вопросы, не стесняйтесь задавать!