What is the revised form of the equation 2cos^2(x-3п/2)-sin(x-п) =0 [(5п/2)?

Для переработки данного уравнения, начнем с исследования функции \(2\cos^2(x- \frac{3\pi}{2}) - \sin(x - \pi) = 0\). Для удобства решения задачи воспользуемся следующей тождественной тригонометрической формулой:
\[\cos^2(\theta) = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}\]

Нам нужно применить это тождество для исследуемой функции.

Перепишем уравнение и заменим \(\cos^2(x- \frac{3\pi}{2})\) на \(\frac{1 + \cos(2(x- \frac{3\pi}{2}))}{2}\):
\[2\left(\frac{1 + \cos(2(x- \frac{3\pi}{2}))}{2}\right) - \sin(x - \pi) = 0\]

Упростим это уравнение, умножив на 2:
\[1 + \cos(2(x- \frac{3\pi}{2})) - 2\sin(x - \pi) = 0\]

Теперь рассмотрим члены по отдельности. Начнем с \(\cos(2(x- \frac{3\pi}{2}))\). Воспользуемся формулой двойного угла:
\[\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta)\]

Заменим \(\cos(2(x- \frac{3\pi}{2}))\) на \(1 - 2\sin^2(x- \frac{3\pi}{2})\):
\[1 - 2\sin^2(x- \frac{3\pi}{2}) - 2\sin(x - \pi) = 0\]

Теперь заменим \(\sin(x - \pi)\) на \(-\sin(x)\):
\[1 - 2\sin^2(x- \frac{3\pi}{2}) - 2\sin(x) = 0\]

Удалим скобки:
\[1 - 2\sin^2(x) + 3\sin(\pi) - 2\sin(x) = 0\]

Так как \(\sin(\pi) = 0\), упростим:
\[1 - 2\sin^2(x) - 2\sin(x) = 0\]

Перепишем это уравнение в виде:
\[-2\sin^2(x) - 2\sin(x) + 1 = 0\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\sin(x)\). Чтобы решить это уравнение, воспользуемся квадратным трехчленом:
\[ax^2 + bx + c = 0\]

В нашем случае:
\[a = -2, \quad b = -2, \quad c = 1\]

Применим понятие дискриминанта:
\[D = b^2 - 4ac\]

Вычислим значение дискриминанта:
\[D = (-2)^2 - 4(-2)(1) = 4 + 8 = 12\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня:

\[\sin(x) = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения:
\[\sin(x) = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{-4}\]

Упростим:
\[\sin(x) = \frac{1}{-2} \pm \frac{\sqrt{3}}{-2}\]

Тогда:
\[\sin(x) = -\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2}\]

На основе таблицы значений для стандартных углов, мы знаем, что у углов синус равен \(-\frac{1}{2}\) только при углах \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{5\pi}{6}\). Таким образом, у нас есть два возможных значения для \(x\):

\[x_1 = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k\]
\[x_2 = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\]

Где \(k\) любое целое число.

Итак, переработанная форма уравнения \(2\cos^2(x - \frac{3\pi}{2}) - \sin(x - \pi) = 0\) является:

\[x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \quad \text{или} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi k\]